Читайте также:
|
|
При решении матричных уравнений вида возникает необходимость выразить матрицу из указанных равенств. С этой целью осуществляется нахождение матрицы, обратной матрице .
Матрица обратной квадратной матрице , если выполняется условие: . В линейной алгебре вопросы существования и единственности обратной матрицы решаются на основе соответствующих теорем. Сформулируем их и примем без доказательства. Доказательства этих теорем можно найти в учебной литературе .
Теорема 1: Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы.
Для того чтобы существовала матрица , обратная матрице , необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной (имела определитель отличенный от нуля). Обратная матрица находится по формуле: ,
Теорема 2: Единственность обратной матрицы.
Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.
Например, если необходимо найти матрицу обратную матрице
,
выясним сначала, существует ли для данной матрицы обратная матрица. И затем найдем ее. Для этого найдем определитель данной матрицы.
существует. Вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам исходной матрицы:
Составим обратную матрицу: .
Сделаем проверку:
.
В результате умножения полученной обратной матрицы и исходной матрицы получилась соответствующая единичная матрица . Значит, обратная матрица вычислена правильно.
Рассмотрим порядок нахождения обратной матрицы для матрицы .
Найдем определитель:
.
Следовательно, для данной матрицы существует обратная матрица . Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы :
Составим обратную матрицу:
Сделаем проверку:
.
Обратная матрица найдена правильно. Вернемся к решению матричных уравнений.
Рассмотрим уравнение вида Умножим обе части данного равенства слева на матрицу, обратную матрице . Получим, . Отсюда, .
Аналогично решим уравнение вида Только в этом случае обе части равенства умножим на матрицу обратную матрице справа. , , . Заметим, что матричное уравнение имеет решение лишь в том случае, когда матрица .
Например, решим матричное уравнение
.
Найдем матрицу обратную матрице и умножим обе части уравнения слева на эту обратную матрицу. Найдем определитель и алгебраические дополнения к элементам матрицы .
.
Решим еще одно матричное уравнение:
В этом случае целесообразно определить порядок матрицы . Согласно определению операции умножения матриц, матрица имеет порядок . Найдем ее. Для этого найдем определитель и алгебраические дополнения к элементам матриц ы , а также составим для нее обратную матрицу.
,
,
.
Найдем матрицу
Теория матриц занимает особое значение в решении систем линейных алгебраических уравнений.
Дата добавления: 2015-04-20; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |