Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Читайте также:
  1. IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведённого курсового исследования по теме «Аксиоматический метод» можно сделать следующие выводы.

Аксиоматический метод - фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях - сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории древней науки. У истоков идеи аксиоматического метода стоят титаны древнегреческой мысли Платон, Аристотель, Евклид.

Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Хотя математика в наше время и является чрезвычайно обширной наукой знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взгляд разобщённые направления исследования, всё-таки математика - это единая наука. Её предмет исследований множество математических структур, её основной метод - аксиоматический метод. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

3. Множества. Способы задания множества. Примеры

Множество и элемент множества относятся к числу первичных понятий, для которых не существует определений в строгом смысле слова. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов (элементов множества), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли – всё это примеры множеств.

 

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.

 

Пустое множество ()не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения sin x = 2 и т.д.

 

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

 

Счётное множество – множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным (множество книг в библиотеке) или бесконечным (множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

 

элементы множества: …, –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

 

номера элементов:... 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10...).

 

Несчётное множество – множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным (продумайте, почему?).

 

Выпуклое множество – множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

 

Способы задания множеств. Множество может быть задано следующим образом:

 

– перечислением всех его элементов по их названиям (так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

 

– заданием общей характеристики (общих свойств) элементов данного множества (например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачих и т.д.);

 

– формальным законом построения элементов множества (например, формула общего члена числовой последовательности, Периодическая система элементов Менделеева и т.д.).

 

4. Равенство множеств. Подмножества. Примеры

Нередко одно множество оказывается частью другого множества. Например, множество всех женщин составляет часть множества всех людей; множество четных чисел – часть множества целых чисел. Для описания этой ситуации используется термин «подмножество».

Определение 1.2.1. Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A является элементом множества B.

Обозначение: A ⊂ B. Читается: «A входит в B», или «A содержится в B», или «B содержит A».

Примеры.

1. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. (Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, которое является подмножеством множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, является подмножеством множества действительных чисел).

2. Многие теоремы в математике имеют вид: A ⊂ B. Например, в теореме «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны»

речь идет о двух множествах: A – множество всех ромбов, B – множество всех геометрических фигур с перпендикулярными

диагоналями. И теорема состоит в том, что A ⊂ B.

Из определения подмножества видно, что всякое множество является подмножеством самого себя: A ⊂ A. Будем считать,

что пустое множество ∅ есть подмножество любого множества: ∅ ⊂ А.4

Исключив эти «крайние» случаи (т.е. ∅, A), мы получим так называемые собственные подмножества множества A, т.е.

такие, которые не пусты и не совпадают с A.

Определение 1.2.2. Множества A и B равны, если одновременно: A ⊂ B и B ⊂ A (т.е всякий элемент A принадлежит B и наоборот).

Обозначение: A = B.

В случае равенства множества A и B оказываются состоящими из одних и тех же элементов.

Примеры.

1. A есть множество корней уравнения х 2 + 5х + 4 = 0, B есть множество, состоящее из двух элементов: –1 и –4, A = B.

2. Все теоремы о том, что некоторое условие является необходимым и достаточным, – это теорема о совпадении двух множеств. Например: «Для того, чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» (сравните с соответствующим примером выше)

5. Множества. Операции над множествами. Пересечение множеств. Примеры Операции над множествами

Объединением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих по крайней мере одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B). Обозначают и читают "объединение A и B ".

Пересечением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A и B. Обозначают и читают "пересечение A и B ".

Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B. Обозначают A \ B и читают "разность A и B ".

Пример 1. Пусть A есть отрезок [1, 3], B - отрезок [2, 4]; тогда объединением будет отрезок [1, 4], пересечением - отрезок [2, 3], разностью A \ B - полуинтервал [1, 2), B \ A - полуинтервал (3, 4].

Пример 2. Пусть A есть множество прямоугольников, B - множество всех ромбов на плоскости. Тогда есть множество всех квадратов, A \ B - множество прямоугольников с неравными сторонами, B \ A - множество всех ромбов с неравными углами.

Операции объединения и пересечения множеств обладают многими свойствами сложения и умножения чисел, например переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Понятия объединения и пересечения множеств дословно переносятся на случай более двух множеств и даже на случай любого конечного или бесконечного множества множеств.

Для удобства будем называть системами такие множества, элементами которых служат другие множества. Тогда объединением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих по крайней мере одному множеству данной системы. Пересечением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, входящих во все множества данной системы.

Применяются следующие обозначения. В случае конечной системы множеств A 1, A 2,..., An объединение S и пересечение D обозначаются:




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 20 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | <== 7 ==> | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав