Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры Править

§ Пусть Тогда

§

7. разность множеств. примеры

Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B. Обозначают A \ B и читают "разность A и B ".

Пример 1. Пусть A есть отрезок [1, 3], B - отрезок [2, 4]; тогда объединением будет отрезок [1, 4], пересечением - отрезок [2, 3], разностью A \ B - полуинтервал [1, 2), B \ A - полуинтервал (3, 4].

Пример 2. Пусть A есть множество прямоугольников, B - множество всех ромбов на плоскости. Тогда есть множество всех квадратов, A \ B - множество прямоугольников с неравными сторонами, B \ A - множество всех ромбов с неравными углами.

Операции объединения и пересечения множеств обладают многими свойствами сложения и умножения чисел, например переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Понятия объединения и пересечения множеств дословно переносятся на случай более двух множеств и даже на случай любого конечного или бесконечного множества множеств.

Для удобства будем называть системами такие множества, элементами которых служат другие множества. Тогда объединением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих по крайней мере одному множеству данной системы. Пересечением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, входящих во все множества данной системы.

Применяются следующие обозначения. В случае конечной системы множеств A ₁, A ₂,..., A_n объединение S и пересечение D обозначаются:

8. Декартово произведение множеств

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.

Путем перебора дети получают:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21.

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент b – второй.

Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А={1, 2, 3 } и образовывали всевозможные пары.

Рассмотрим другой пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что а А, b В. Получим некоторое новое множество {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А В. Таким образом А В = {(x;y) | x A, y B}.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что А В={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

Перечислим элементы, принадлежащие множеству А В, если
А={a, b, c, d}, B=A. Декартово произведение А В={(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b),(d, c), (d, d)}.

Количество пар в декартовом прoизведении А В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n (А В)=n(A) n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А , А ,…, A называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А , вторая – А , …, n -ая – множеству А: А А … A .

Пусть даны множества А ={2, 3}; А ={3, 4, 5}; A ={7, 8}. Декартово произведение А А А ={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.