Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из этих высказываний.

Дизъюнкцию высказываний А и В мы обозначим А V В и будем читать: А или В. Определение дизъюнкции может быть записано в виде таблицы истинности:

Определение дизъюнкции двух высказываний естественным образом распространяется на любое конечное число составляющих: дизъюнкция А₁ V А₂ V А₃V...V А_N истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А₁, А₂, А₃,..., А_N (а следовательно, ложна, когда ложны все эти высказывания).

13. Импликация высказываний. Примеры

В наших рассуждениях, особенно в математических доказательствах, мы часто пользуемся сложными высказываниями, образованными с помощью слов "ЕСЛИ..., ТО..." (или "ИЗ ТОГО, ЧТО..., СЛЕДУЕТ, ЧТО..."). Здесь высказывание, расположенное после слова "ЕСЛИ", называется ОСНОВАНИЕМ или ПОСЫЛКОЙ, а высказывание, расположенное после слова "ТО", называется СЛЕДСТВИЕМ или ЗАКЛЮЧЕНИЕМ.

Рассмотрим пример: из арифметики. Вам должно быть известно, что утверждение "если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3" истинно, т.е. из высказывания "каждое слагаемое делится на 3" СЛЕДУЕТ высказывание "сумма делится на 3". Посмотрим, какие наборы значений истинности посылки и заключения возможны, когда истинно все утверждение. Возьмем, например, в качестве слагаемых числа 6 и 9. В этом случае истинны и посылка, и заключение, и все утверждение. Если же взять числа 4 и 5, то посылка будет ложной, а заключение истинным. Для чисел 4 и 7 и посылка и заключение ложны. (Если Вы сомневаетесь в истинности высказывания для последнего случая попробуйте произнести его в сослагательном наклонении: если бы числа 4 и 7 делились бы на 3, то и их сумма делилась бы на 3). Очевидно, что только один случай невозможен: мы не найдем таких двух слагаемых, чтобы каждое из них делилось на 3, а их сумма не делилась на 3, т.е. чтобы посылка была истинной, а заключение ложным. Из истины не может следовать ложь, иначе логика теряет смысл. Высказывание "Если А, то В " с логической точки зрения имеет тот же смысл, что и высказывание "НЕВЕРНО, что А истинно И В ложно". Это означает, что функцию импликации можно заменить комбинацией двух функций (отрицания и конъюнкции). Обычно, когда мы хотим установить ложность высказывания "Если А, то В ", мы стараемся показать, что возможен случай, когда А истинно, а В ложно (доказательство "от противного"). Обозначим импликацию => или → и запись " А => В " будем читать: "Из А следует В ". Итак, мы пришли к определению:

Импликацией А => В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно.

Запишем это определение в виде таблицы истинности:

14. Эквиваленция высказываний. Примеры.

ак Вы думаете, в каком случае два простых высказывания можно считать эквивалентными (равносильными). Чисто интуитивно можно догадаться, что высказывания эквивалентны, когда их значения истинности одинаковы. Например, эквивалентны высказывания: "железо тяжелое" и "пух легкий", так же как и высказывания: "железо легкое" и "пух тяжелый". Обозначим эквиваленцию символом <=> (возможно ~ или ↔) и запись " А <=> В " будем читать " А эквивалентно В ", или " А равносильно В ", или " А, если и только если В ". Запишем определение: