Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнения неразрывности, движения, энергии

Читайте также:
  1. АЛСН, КЛУБ, устройства контроля бдительности машиниста, другие устройства безопасности движения, РС, скоростемеры, АГС
  2. Баланс энергии парусного судна. Ветроходы.
  3. Балансы мощности и электроэнергии
  4. Биомасса для Производства Энергии в Изобилии
  5. Величина энергии активации с ферментом и без него
  6. Во время ускоренной энергии все движется быстрее и проявляется с гораздо большей скоростью.
  7. ВОДА - ГЛАВНЫЙ ИСТОЧНИК ЭНЕРГИИ
  8. Все формы энергии образуют однородную группу, все члены которой преобразуемы друг в друга посредством подходящих генераторов и машин.
  9. Вы получаете космические энергии с целью восстановления функционирования особых кодов сознания в человеческой форме.
  10. Выбор формы уравнения регрессии

2.1. Градиент скорости и связанные с ним кинематические тензоры

Градиент скорости является тензором второго ранга, который характеризует поле скоростей. В декартовом базисе его можно записать в виде:

Транспонирование дает

Геометрический смысл тензора - это оператор, переводящий вектор в вектор :

Действительно:

Однако скалярное произведение не является дифференциалом . Действительно:

При этом нетрудно убедиться, что произведение в свою очередь является дифференциалом , так как произведение вектора на тензор второго ранга подчиняется правилу: отсюда

Иногда в литературе вместо оператора Гамильтона (набла) используют частную производную по радиус-вектору:

Тогда градиент скалярной функции записывают как , градиент вектор-функции (тензор второго ранга) как и т.д.

 

Симметричная часть есть тензор скоростей деформаций , а антисимметричная – тензор вращения :

Очевидно, что

В компонентном виде:

Здесь и далее, если не оговорено особо, следует читать как .

Скалярные произведения этих тензоров:

этот тензор является симметричным, как и этот:

Также симметричным является тензор

характеризующий вращательную часть производной Яуманна для тензора скоростей деформаций .

Заметим, что:

2.2. Операции с тензорами градиента скорости, скоростей деформации и тензора вращения, и их инварианты

Запишем в компонентном виде, в декартовом базисе скалярные произведения для градиентов скоростей:

Второй и третий из этих тензоров являются симметричными, а первый и четвертый – несимметричными. Соответствующие скалярные величины – двойные скалярные произведения:

Видно, что:

Для следов скалярных произведений:

откуда следует, что:

 

Инварианты тензоров

1) Для тензора градиентов скоростей:

его квадрат:

и его куб:

Соответствующие следы:

Тогда инварианты этого тензора:

2) Для транспонированного тензора:

его квадрат и куб записываются так:

Их следы:

Тогда соответствующие инварианты:

3) Для тензора скоростей деформаций:

Квадрат и куб записываются как:

Их следы:

Инварианты тензора по найденным следам вычисляются по формулам:

2.2 Дифференциальные операторы для поля скоростей

 

Хорошо известно, что при использовании Эйлерового подхода к описанию движения жидкости появляется дополнительная компонента ускорения, обусловленная изменением пространственной конфигурации течения.

Конвективное ускорение можно записать в виде:

Как известно:

Этот вектор можно записать и по-другому, учитывая что

Отсюда следует еще одна формула для

Еще одно полезное соотношение:

Для поля скоростей кроме скалярного дифференциального оператора первого порядка , который дает конвективную производную, можно использовать и векторный дифференциальный оператор .

В компонентном виде его можно представить:

или, подробнее, в обычной форме записи для декартовой прямоугольной системы координат, это вектор с компонентами:

по осям , и , соответственно.

В предыдущем выражении для записи векторного произведения используется тензор Леви-Чевита (альтернирующий тензор):

Для скалярной функции величина является вектором:

Оператор , примененный к вектору, дает тензор второго ранга. Для поля скоростей имеем:

Матрица компонент этого тензора имеет вид:

Видно, что след этого несимметричного тензора:

где

Тот же самый результат дают скалярные функции:

Действительно:

Тензорным дифференциальным оператором второго порядка является оператор т.е. . В компонентном виде:

Матрица компонент этого симметричного тензора имеет вид:

Оператор Лапласа – скалярный дифференциальный оператор второго порядка есть след этого тензора:

Для двух векторов и их скалярное и векторное произведения могут быть записаны в тензорном виде через диады В компонентном виде тензор

матрица компонент этого несимметричного тензора имеет вид:

Видно, что след этого тензора есть скалярное произведение векторов:

Действительно:

Векторное произведение двух векторов и можно представить в виде:

т.е. в виде:

Действительно, левая часть этого равенства:

а правая:

Проекция этого вектора на ось имеет вид:

т.е. совпадает с проекцией на эту ось. Аналогичным образом можно увидеть совпадение и других двух проекций. Тем самым следует, что векторное произведение двух векторов есть двойное скалярное произведение антисимметричной части соответствующей диады, взятой с обратным знаком, и тензора Леви-Чивита.

Нетрудно убедиться в справедливости и такого равенства для векторного произведения векторов:

Для скалярных произведений вектора и тензора справедливы соотношения:

что следует из определения для операции транспонирования.

Очевидно:

Таким образом перестановка местами в скалярном произведении вектора и тензора приводит к появлению у тензора символа транспонирования.

Рассмотрим градиент скалярного произведения двух векторных функций и :

Тем самым получим формулу:

Применяя ее к величине , присутствующей во многих соотношениях гидродинамики, получаем:

Оператор конвективной производной, применимый к скалярным и векторным функциям, позволяет переходить к дивергентной форме записи:

Скалярное произведение:

дает антисимметричный тензор второго ранга. В компонентном виде это:

Матрица компонент этого тензора:

Тот же самый результат, но с обратным знаком, дает векторное произведение:

Таким образом:

Другие полезные формулы :

Двойное векторное произведение векторов есть разность двух векторов:

Для смешанного произведения векторов справедлива циклическая перестановка:

Единственный тензор и другие тензоры второго ранга, содержащие в матрице компонент единицы.

Как известно, единичный тензор (тензорная единица) – тензор второго ранга, который в декартовом прямоугольном базисе содержит в матрице компонент единицы, расположенные по главной диагонали:

где дельта Кронекера:

Матрица компонент имеет вид:

Этот тензор играет важную роль в тензорной алгебре – с его помощью вычисляют след тензора второго ранга, скалярное умножение тензора любого ранга на не меняет исходный тензор. Тензорная поверхность единичного тензора представляет собой сферу единичного радиуса. Любой шаровой тензор, характеризующий ту или иную физическую величину, записывается через тензор . Так, тензор напряжений идеальной жидкости представляют в виде:

где давлении. Это выражение можно трактовать как закон Паскаля в тензорном виде.

При записи физических соотношений иногда желательно иметь такой тензор второго ранга, у которого была лишь одна ненулевая компонента, расположенная к тому же не только на диагонали. Это нетрудно получить, используя дельты Кронекера. Например, тензор имеет матрицу:

Тензор характеризуется матрицей:

и т.д. При этом возможны различные комбинации. Например, тензор имеет матрицу компонент:

2.3. Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности, являющееся скалярным уравнением:

может быть записано еще в двух эквивалентной этой формах:

Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности примет вид:

В случае турбулентного движения это будет:

здесь трактуется уже как осредненная скорость, - пульсационная. Отсюда и для осредненной скорости, и для пульсационной имеем:

т.е. в компонентном виде:

Рассмотрим дивергенцию тензора пульсаций третьего ранга, т.е. величину:

которая является тензором второго ранга. Простейшие преобразования дают:

Первое слагаемое, согласно формуле, равно нулю, а два других дают:

где - тензор пульсационных скоростей деформаций:

Выполняя операцию осреднение по Рейнольдсу, получаем для несжимаемой жидкости соотношение:

Применим к уравнению неразрывности, которое записано для общего случая движения жидкости любого вида, оператор градиента:

После несложных преобразований можно получить векторное уравнение:

или, в более компактном виде:

или, несколько иначе:

(7)

Выражение (7) содержит градиент дивергенции вектора , который, как известно равен:

Для несжимаемой жидкости левая часть равна нулю, откуда для ротора ротора вектора скорости:

Для сжимаемой жидкости согласно формуле (7) в правой части этого соотношения появляются слагаемые:

Тензорная форма уравнения неразрывности:

(1)

Отсюда возникает тензор

Его можно представить:

Отсюда возникают корреляции и

Поскольку уравнение неразрывности (1) можно т.е.

А можно записать для пульсационного движения:

Любую конвективную производную скалярной величины можно записать в виде:

2.4 Уравнения движения жидкости с постоянными и переменными физическими свойствами.

Уравнение движения жидкости в напряжениях содержит дивергенцию тензора напряжений Для несжимаемой жидкости тензор имеет вид:

Его дивергенция при учитывая что записывается как:

Тогда уравнение движения несжимаемой жидкости – уравнение Навье-Стокса при принимает вид:

Добавочное слагаемое характеризует изменение динамической вязкости. В компонентной форме, в декартовой прямоугольной системе координат уравнение имеет вид:

Для сжимаемой жидкости с переменной вязкостью уравнение будет содержать слагаемые с который в этом случае не будет равен нулю.

Реологическое соотношение при учете сжимаемости имеет вид:

или, обозначая скалярную величину при единичном тензоре:

это соотношение можно записать в виде:

Дивергенция этого тензора:

и уравнение движения сжимаемой жидкости с переменной вязкостью принимает вид:

или, в компонентном виде:

Учет переменности вязкости особенно важен при описании турбулентных течений с использованием модели Буссинеска с турбулентной вязкостью .

Применим операцию дивергенции к уравнению Навье-Стокса для сжимаемой жидкости с переменной вязкости, уравнение движения которой:

Будем последовательно применять операцию к каждому слагаемому этой формы:

Если массовая сила характеризует поле сил тяжести, то она имеет потенциал

Тогда:

Поскольку потенциальная функция линейна, то её лапласиан равен нулю, в результате чего:

В итоге результат применения операции дивергенции дает скалярное уравнение:

Если жидкость несжимаема, то это соотношение дает:

а если к тому же то

что и следовало ожидать.

Общий случай движения жидкости. Учет сжимаемой жидкости.

 

Для течений несжимаемой жидкости система уравнений состоит из уравнений Навье-Стокса и неразрывности (векторного и скалярного):

(1)

Эта система из двух уравнений является замкнутой – содержит две неизвестных – вектор скорости и скалярную величину - давление. Система описывает ламинарные течения, в случае турбулентного она становится незамкнутой – появляется тензор рейнольдсовых напряжений, который требует своего определения.

Для течения сжимаемых сред и уравнение Навье-Стокса после подстановки реологического соотношения для стоксовой ньютоновской жидкости в уравнения движения сплошной среды в напряжениях принимает вид:

(2)

где

(3)

Уравнения неразрывности для этого общего случая движения записывается как:

(4)

или, в несколько других эквивалентных формах:

или

Видно, что при эти уравнения (2) и (4) приводят к системе (1).

При система уравнений (2) и (4) является незамкнутой – в ней дополнительно, по сравнению с системой уравнений (1) появляется еще одна неизвестная скалярная величина – плотность жидкости. Для замыкания системы используют уравнение энергии, в котором еще одну появляющуюся скалярную величину - выражают через термодинамическое уравнение состояния, к качестве которого обычно в газовой динамике выступает уравнение Менделеева-Клапейрона. Уравнение энергии можно записать в виде уравнения переноса для внутренней энергии :

(6)

где внутренняя энергия для идеального газа, она выражается через его изохорную теплоемкость, величина - интенсивность теплового потока, для ламинарного режима отвергает по закону теплопроводности Фурье где - коэффициент теплопроводности; - теплота, поступающая от внешних или внутренних источников.

Уравнения (2), (3), (4) справедливы для ламинарного режима движения. В случае турбулентного режима в них появляются корреляции, вызванные не только пульсациями скорости, но и пульсациями плотности и температуры.

 

2.5. Уравнение баланса механической энергии потока.

 

Уравнение баланса механической энергии потока можно получить, умножая скалярно каждое слагаемое уравнения движения сплошной среды в напряжениях на вектор скорости :

(1)

Преобразования левой части этого соотношения приводят к следующим результатам:

(2)

т.е. это есть материальная (Эйлерова) производная кинематической энергии движущейся частицы жидкости.

Мощность напряжений стоящую в правой части (1) можно представить в виде:

(3)

Справедливость этого соотношения видна из представления его в компонентном виде, в декартовой прямоугольной системе координат. Действительно

При выполнении выкладок здесь учтено, что скалярное произведение базисных векторов дает дельту Кронекера, а для того чтобы она была ненулевой, необходимо равенство ее индексов. Следующее слагаемое (3) в компонентной форме:

И, наконец, последнее слагаемое правой части (3) в компонентной форме принимает вид:

Тогда, в целом, равенство (3) в компонентной форме имеет вид:

В силу симметрии тензора напряжений, это соотношение является тождеством, откуда следует справедливость формулы (3). Действительно, второе слагаемое правой части этого соотношения, после переобозначения индекса на и наоборот принимает вид:

но откуда следует равенство этого слагаемого слагаемому в левой части соотношения. Тем самым равенство (3) справедливо.

Последнее слагаемое в правой части уравнения (1) можно преобразовать, вводя в рассмотрение потенциал массовых сил в поле сил тяжести, полагая что ось направлена вертикально вверх:

Тогда

После подстановки выражений (2), (3), (4) в соотношение (1), имеем уравнение для механической энергии потока жидкости:

(5)

Стоящая в скобках левой части сумма кинетической и потенциальной энергией потока, есть полная механическая энергия этого потока. В таком виде уравнение механической энергии приведено в []. Чаще всего в литературе [] правую часть (5) представляя тензор напряжений движущейся жидкости в виде суммы

(6)

где давление, единичный тензор, тензор вязких напряжений. Тогда правая часть (5) примет вид:

(7)

Первое слагаемое этого соотношения:

А третье слагаемое:

После подстановки этих слагаемых в выражение (7) и далее в (5), уравнение механической энергии движущейся жидкости приобретает форму:

(8)

Видно, что скорость изменения полной механической энергии потока (суммы кинетической и потенциальной энергий) равна сумме мощностей сил давления и вязкого трения.

 

2.6. Уравнение энергии движущейся жидкости и его различные формы записи.

 

Первое начало термодинамики связывает между собой внутреннюю энергию, теплоту и работу. Применительно к движущейся жидкости его можно записать следующим образом:

(1)

где плотность; время; внутренняя энергия (удельная); вектор Гамильтона; вектор плотности притока тепла за счет теплопроводности; тензор напряжений; скорость жидкой частицы; количество теплоты поступающей в объем частицы от действия внешних источников за единицу времени. В этом выражении точка – символ скалярного произведения, двоеточие обозначает двойное скалярное произведение тензоров, в данном случае тензора напряжений и тензора градиентов скоростей.

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что скорость изменения внутренней энергии в единицу объема, равна скорости подвода энергии за счет теплопроводности, за счет диссипации механической энергии потока и за счет поступления тепла от внешних или внутренних источников. Поскольку тензор напряжений можно представить в виде:

Где давление; единичный тензор; тензор вязких ньютоновских напряжений, то уравнение (1) можно записать в виде:

(2)

Это уравнение является уравнением энергии в форме переноса для внутренней энергии Его можно записать в более развернутом виде, учитывая, что оператор полной, эйлеровой производной в эйлеровой системе отсчета

Вектор в уравнении энергии определяется законом теплопроводности Фурье

где температура; коэффициент теплопроводности, а тензор реологическим соотношением Ньютона.

В декартовой прямоугольной системе координат, используя индексную форму записи, это уравнение представляется следующим образом:

(3)

Присутствие членов и в уравнении энергии говорит о том, что в движущейся жидкости может происходить внутреннее нагревание (охлаждение). Член может вызвать значительное изменение температуры, когда газ быстро расширяется (сжимается). Член всегда положительный, он характеризует диссипацию, деградацию механической энергии и переход ее в тепловую. Эту скалярную величину называют диссипативной функцией Рэлея и обозначают Запишем эту функцию подробно в декартовой прямоугольной системе координат для ньютоновской вязкой жидкости, когда реологическое соотношение имеет вид:

(4)

где коэффициент динамической вязкости; тензор скоростей деформации:

(5)

Конкретизация дает возможность записать диссипативное слагаемое в уравнении (2), выполняя простейшие выкладки:

Таким образом в компонентной форме, в индексной записи диссипативная функция Рэлея имеет вид:

или, переходя к обычным обозначениям, после суммирования по повторяющимся индексам и группировки слагаемых, получаем окончательно для этой диссипативной функции Рэлея:

(7)

что и следовало ожидать.

В бескомпонентной форме она записывается в виде:

(6)

Для совершенных газов внутренняя энергия связана с температурой соотношением где изохорная теплоемкость. Тогда вместо уравнения (2) с учетом выражения для вектора можно записать уравнение для переноса температур в виде:

Уравнение энергии (2) в форме переноса внутренней энергии может быть записано и через энтальпию Для этого в правую и левую части нужно добавить слагаемое Тогда слева будет стоять величина а справа добавиться это слагаемое в следующем преобразованном виде:

(8)

Здесь учтено уравнение неразрывности Тогда слагаемое уйдет из правой части и в итоге будем иметь уравнение энергии в форме переноса энтальпии

(9)

Эта вторая форма уравнения энергии для совершенного газа, где где изобарная теплоемкость, приводит к следующему уравнению переноса для температуры:

Еще один вид уравнения энергии можно записать, если ввести в рассмотрение энтальпию торможения Для этого следует сначала записать уравнение механической энергии потока, а затем сложить его с уравнением (9). Такое уравнение для механической энергии можно получить, если умножить скалярно уравнение движения жидкости в напряжениях на вектор скорости

После элементарных преобразований левой части получаем уравнение переноса кинетической энергии движущейся жидкости:

(10)

Сложение правых и левых частей уравнений (9) и (10) приводит к уравнению переноса энтальпии торможения:

(11)

Здесь учтено, что:

(12)

в чем легко убедится, выполняя соответствующие выкладки в компонентном виде, учитывая при этом симметрию тензора напряжений

Действительно, запишем в компонентном виде каждое слагаемое этого уравнения. Для слагаемого в левой части имеем:

Для слагаемых в правой части:

Подстановка этих трех выражений подтверждает формулу. Таким образом, диссипативный член в уравнении переноса энтальпии торможения может быть представлен в виде:

(13)

где диссипативная функция Рэлея, а скалярная величина, которую можно назвать добавочной диссипативной функцией.

Эта скалярная величина , характеризующая диссипативные процессы, в декартовой прямоугольной системе координат для ньютоновской стоксовой жидкости записывается следующим образом:

Первое слагаемое здесь в координатном виде, переходя к обычной форме записи в осях записывается как:

а второе слагаемое:

Учитывая что компоненты тензора скоростей деформаций

получаем окончательно выражение для декартовой прямоугольной системы координат:

Еще один, четвертый вид уравнения энергии записывается в терминах переноса энтропии Действительно, согласно основному уравнению термодинамики, которое вытекает из сочетания первого и второго законов ее, следует:

Отсюда имеем:

тогда подстановка величины из этого выражение в уравнение (9) дает уравнение:

(15)

Все четыре формы записи уравнения энергии – и через внутреннюю энергию, и через энтальпию, и через полную энтальпию, и через энтропию, эквивалентны.

Уравнение для температурного поля, для переноса температуры можно получить из уравнения (2) или из (9). В этих случаях величины и необходимо конкретизировать, используя известные из термодинамики формулы, следующие из соотношения Максвелла:

здесь и изохорная и изобарная теплоемкости соответственно. Нижние индексы при производных фиксируют параметры, при постоянстве которых вычисляются производные. Из этих формул следуют выражения для полных производных.

(16), (17)

Подстановка их в уравнения (2) и (9) дает две формы записи уравнения энергии в виде переноса температуры. Особенно просто эти формы записываются для совершенного газа, т.е. идеального газа, подчиняющегося уравнению Менделеева-Клайперона имеющего постоянные теплоемкости и значения которых вычисляются по молекулярно-кинетической теории газов, и дающего для внутренней энергии выражение В этом случае в правых частях (16) и (17) остаются только первые слагаемые. Тогда формула (2) дает уравнение переноса температуры в виде:

(18)

а уравнение (9) в виде:

(19)

Тождественность этих уравнений видна, если вычесть из (19) уравнение (18). Тогда:

или, принимая во внимание выражение (8) и используя формулу Майера где газовая постоянная, имеем:

Видно, что выполняется формула Менделеева-Клайперона, что и следовало ожидать.

На основе формулы (18) можно получить уравнение переноса для местной скорости звука которая для совершенного газа выражается формулой где показатель адиабаты, Действительно, если пренебречь величиной учесть уравнение неразрывности, а также то, что то уравнение (18) принимает вид:

(20)

 

2.7. Запись уравнения энергии как скалярной величины теплоты (возможная альтернатива закону Фурье).

 

Уравнение энергии в современной литературе по механике жидкостей и газов [] записывают как разность балансов полной и внутренней энергии. По уравнениям переноса уравнение баланса полной энергии []:

(1)

где полная энергия движущейся частицы жидкости, включающая в себя механическую энергию и внутреннюю время; плотность; оператор материальной (Эйлеровой) производной; тензор напряжений; оператор Гамильтона (набла); скорость жидкой частицы; вектор интенсивности массовых сил (в поле сил тяжести это вектор ускорения свободного падения); вектор плотности теплового потока,

Уравнение баланса механической энергии потока получается из уравнения движения сплошной среды в напряжениях, путем скалярного умножения его на вектор После несложных преобразований это уравнение записывается в виде:

(2)

Вычитание из уравнения (1) правых и левых частей уравнения (2) дает:

(3)

Здесь двоеточие – символ двойного скалярного произведения.

Согласно этому уравнению, изменение внутренней энергии происходит за счет теплового потока (путем теплопроводности по закону теплопроводности Фурье где коэффициент теплопроводности), а также за счет диссипации механической энергии потока жидкости, которая характеризуется слагаемым

Учитывая, что тензор напряжений вязкой жидкости может быть записан в виде:

где давление; единичный тензор; тензор вязких напряжений, а также то обстоятельство, что в правой части (3) могут быть добавлены и другие источниковые для теплоты члены, уравнение (3) в температуре обычно записывают в виде:

(4)

где интенсивность поступления к частице теплоты от действия внешних источников Это уравнение энергии в форме уравнения для переноса внутренней энергии может быть переписано и в других формах – в формах переноса энтальпии, температуры, энтропии которые являются эквивалентной исходной.

В уравнении (4) интенсивность теплового потока записывается по закону теплопроводности Фурье:

где температура; коэффициент теплопроводности, который в литературе по теплофизике обычно представляют в виде

где коэффициент температуропроводности; изобарная теплоемкость. Отсюда видно, что в уравнении (4) будет присутствовать, кроме изобарной, еще и изохорная теплоемкость поскольку, как известно из термодинамики для идеального газа, величина внутренней энергии связана с Более того, в уравнениях переноса любой физической величины (скалярной, векторной, тензорной) в правой части уравнения под знаком дивергенции должен находиться член, содержащий градиент этой величины

Здесь коэффициент, характеризующий диффузию этой величины (для поля концентрации – это коэффициент диффузии , для поля скоростей – это кинематическая вязкость и так далее.). Однако, в уравнении (4) члена под знаком дивергенции нет, поскольку закон теплопроводности Фурье не предполагает его наличия. Положение несколько исправляется, если уравнение энергии записать в виде уравнения для переноса энтальпии когда для газов и закон теплопроводности Фурье записывается в виде:

а уравнение энергии приобретает вид:

(5)




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 121 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Введение 1 страница | Введение 2 страница | Введение 3 страница | Введение 4 страница |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.098 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав