Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Распределения

Рассмотрим важные выборочные числовые характеристики распределений, обобщающие понятия среднего и дисперсии. Пусть k – целое неотрицательное число.

Определение 2.18 Начальным моментом k-го порядка выборки x ₁, x ₂, …, x _n называется среднее k-тых степеней данных выборочных значений, то есть

Очевидно, что начальный выборочный момент нулевого порядка всегда равен 1, а начальный выборочный момент первого порядка

Определение 2.19 Центральным моментом k - го порядка выборки x ₁, x ₂, …, x _n называется среднее k-тых степеней отклонений данных выборочных значений от среднего , то есть

Из данного определения следует, что центральный выборочный момент нулевого порядка равен 1. При k = 1 получается, что

,

а при k= 2 имеем

.

Следовательно, выборочная дисперсия является центральным выборочным моментом второго порядка. Для вычисления центрального выборочного момента третьего порядка используем стандартные алгебраические преобразования:

В результате получилось выражение центрального момента третьего порядка через начальные моменты. Таким же способом находятся выражения для центральных моментов более высоких порядков. Приведем ряд формул, которые на практике используются чаще других:

При вычислении начальных и центральных выборочных моментов используются приемы и таблицы, аналогичные тем, которые применялись ранее для вычисления среднего и дисперсии .

Пример 2.28 В ходе социологического исследования собраны ответы 25 рядовых сотрудников учреждения о количестве стрессовых ситуаций, возникавших на работе в течение недели. Данные опроса приведены в следующей таблице. Найдем начальные и центральные выборочные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Таблица 2.20 – Данные исследования стрессовых ситуаций

Количество стрессов	0 1 2 3 4 5
	1 2 8 10 2 2

Необходимые промежуточные расчеты будем фиксировать в следующей таблице.

Таблица 2.21 – Вычисления начальных и центральных моментов

Объем выборки n = 25. Вычислим начальные выборочные моменты:

; ;

; .

Используя соответствующие формулы, вычислим центральные выборочные моменты:

; ;

;

Округлим полученные значения центральных моментов:

; ; ;

■

Начальные и центральные выборочные моменты являются аналогами соответствующих понятий теоретических моментов всей генеральной совокупности значений исследуемой случайной величины.

Определение 2.20 Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется число , равное математическому ожиданию k-й степени величины Х:

.

Для вычисления начального момента k-го порядка используются следующие формулы:

Говорят, что момент существует, если он конечен, в противном случае считается, что момент не существует.

Определение 2.21 Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется число , равное математическому ожиданию величины

.

Для вычисления центрального момента k–го порядка используются формулы:

Заметим, что формулы, выражающие центральные моменты через начальные, аналогичны соответствующим формулам для выборочных моментов. В частности, имеют место соотношения:

;

;

;

.

Очевидно, что математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка, а дисперсия – центральным моментом второго порядка. Как теоретические, так и выборочные моменты используются при исследовании закона распределения случайной величины. Все центральные моменты четных порядков, как и дисперсия, характеризуют рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания. Центральные моменты нечетных порядков выявляют асимметрию распределения относительно центра. В частности, если значения случайной величины распределены симметрично относительно математического ожидания, то все ее существующие моменты нечетных порядков равны нулю. С другой стороны, существование отличного от нуля центрального момента нечетного порядка показывает наличие асимметрии распределения.