Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ

1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности).
2. В n -мерном пространстве окрестность точки – любая область, содержащая данную точку. В частности совокупность точек М (х ₁; х ₂; …; х_n), координаты которых удовлетворяют неравенству
,
называется шаровой (сферической) δ-окрестностью точки А (а ₁; а ₂; …; а_n) – окрестностью радиуса δ. Иначе говоря, указанное множество точек М образует в n -мерном пространстве (открытый) шар радиуса δ с центром в точке А.
Множество точек М (х ₁; х₂; …; х _n), координаты которых удовлетворяют системе неравенств

называется параллелепипедальной окрестностью точки А (а 1; а 2; …; аn). Иначе: указанное множество точек М образует в n -мерном пространстве параллелепипед с центром в точке А.
3. Окрестность точки А в метрическом пространстве – любая область, содержащая точку А. В частности все точки М, расстояние от которых до точки А меньше некоторого положительного числа δ, образуют ее (т.е. точки А) сферическую окрестность радиуса δ с центром в точке А.

№2

Ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества.

Множество. Множество действительных чисел называется ограниченным, если существует такое число М > 0, что для любого элемента х данного множества справедливо неравенство .
Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число Р, что для любого элемента х данного множества имеет место неравенство (соответственно ).

2. Множество точек в n -мерном пространстве называется ограниченным, если в этом пространстве существует сфера, целиком содержащая это множество.

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Пусть X− произвольное непустое множество действительных чисел. Число M=maxX называется наибольшим (максимальным) элементом множества X, если M∈X и для всякого x∈X выполняется неравенство x≤M. Аналогично определяется понятие наименьшего (минимального) элемента m=minX множества X.

Множество X называется ограниченным сверху, если существует действительное число a такое, что x≤a для всех x∈X.Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X. Для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точной верхней гранью множества X и обозначается символом supX. Очевидно supX=maxX тогда и только тогда когда supX∈X.

Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества, нижней грани и точной нижней грани множества X. Последняя обозначается символом infX.

Множество X, ограниченное снизу и сверху, называется ограниченным.

Пусть x⊂R. Число x0∈R называется предельной точкой множества X, если любая окрестность точки x0 содержит точку из множества X, отличную от x0, то есть для

∀ε>0∃y∈X,y≠x0Ky−x0|<ε.

Сама точка x0 может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X.