Читайте также:
|
Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции 
называется вертикальная прямая 
, если 
или 
при каком-либо из условий: 
, 
, 
. Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка 
принадлежала области определения функции 
, однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: 
или 
, где 
.
Пример 7.1 Рассмотрим функцию 
. График имеет вертикальную асимптоту 
, поскольку при 
выполняется условие 
, а также при 
выполняется условие 
.
Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции 
Пример 7.2 Рассмотрим функцию 
. Её график имеет вертикальную асимптоту 
, так как 
при 
. То, что при 
функция не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, 
при .)
Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции
Пример 7.3 Рассмотрим функцию 
. Прямая является вертикальной асимптотой графика , так как при . Заметим, что слева от точки функция вообще не определена.
Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции
Пример 7.4 График функции 
не имеет при вертикальной асимптоты, так как -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при 
и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция 
-- имеет вертикальную асимптоту .
Рис.7.4.График функции не имеет вертикальной асимптоты
Пример 7.5 Прямая не является вертикальной асимптотой графика функции 
, поскольку здесь нельзя утверждать, что при или функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях 
значения 
могут быть как угодно велики, однако при других малых функция обращается в 0: так, при 
(
) значения функции равны 
и стремятся к бесконечности при 
, а при всех 
вида 
() значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки при увеличении 
попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция не является бесконечно большой при 
, и прямая -- не асимптота.
Рис.7.5.График функции не имеет вертикальной асимптоты
Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.
Определение 7.2 Наклонной асимптотой графика функции при 
называется прямая 
, если выполнены два условия:
1) некоторый луч 
целиком содержится в 
;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :
| (7.1) |
Наклонной асимптотой графика функции при 
называется прямая , если
1) некоторый луч 
целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :
Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при
В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при 
, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая 
является горизонтальной асимптотой графика при или , если
или
соответственно.
Пример 7.6 Рассмотрим функцию 
. График этой функции имеет наклонную асимптоту 
при . Действительно,
при 
Однако эта функция не определена ни на каком луче вида , так что её график не может иметь асимптоты при .
Рис.7.7.Наклонная асимптота функции
Пример 7.7 График функции 
имеет горизонтальную асимптоту 
как при , так и при , поскольку, очевидно, 
при 
. Можно сказать также, что асимптота при у этого графика совпадает с асимптотой при .
Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции
Аналогично определению наклонной асимптоты можно дать также более общее определение:
Определение 7.3 Линия 
называется асимптотической линией графика функции при (или при ), если обе эти функции определены на некотором луче (или луче ) и разность ординат графиков стремится к 0 при (или при , соответственно).
Если функция 
-- линейная, то есть график -- наклонная прямая, то асимптотическая линия -- это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.
Пример 7.8 Рассмотрим функцию 
. При график этой функции имеет асимптотическую линию 
, поскольку разность между и 
, равная, очевидно, 
, стремится к 0 при .
Рис.7.9.Асимптотическая линия графика функции
Замечание 7.1 Функции и входят в определение асимптотической линии симметрично: если график -- асимптотическая линия для графика , то и -- асимптотическая линия для . На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.
Пример 7.9 Рассмотрим функцию 
. Так как 
при , то естественно рассматривать график 
как асимптотическую линию при для графика исследуемой функции .
Рис.7.10.Асимптотическая линия для графика функции при
Вернёмся к наклонным асимптотам -- прямым линиям с уравнением . Для их нахождения в тех случаях, когда значения 
и 
не очевидны, можно применять следующую теорему.
Теорема 7.1 Прямая служит наклонной асимптотой для графика при (или при ) в том и только том случае, когда
| (7.2) |
и
| (7.3) |
(соответственно, если
и 
Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится ) асимптоты достаточно найти два указанных предела и, затем, . Прямая будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.
Доказательство теоремы. Докажем теорему в случае ; доказательство при проводится совершенно аналогично.
Перепишем условие (7.1), задающее асимптоту, в виде
Так как первый множитель , то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть
Но 
и 
, так что
откуда следует равенство (7.2). Теперь число уже известно.
Подставляя это число в формулу (7.1), находим, что
откуда следует равенство (7.3).
Пример 7.10 Найдём наклонные асимптоты графика 
.
Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при , и при .
Итак, и при , и при имеем 
и 
, так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение 
, то есть, фактически, асимптота только одна.
Рис.7.11.График и его наклонная асимптота
Замечание 7.2 Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при и при для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.
Пример 7.11 Рассмотрим график 
. При график приближается к горизонтальной асимптоте 
, а при -- к другой горизонтальной асимптоте 
.
Рис.7.12.График арктангенса имеет две разных горизонтальных асимптоты
Различными могут оказаться и не обязательно горизонтальные асимптоты:
Пример 7.12 Рассмотрим функцию 
. Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.
Сначала найдём асимптоту при . Согласно доказанной теореме, имеем:
Таким образом, при наклонной асимптотой служит прямая 
.
Теперь найдём асимптоту при . Имеем:
Поскольку , мы можем считать, что в допредельном выражении 
. В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число 
. Тогда под корнем нужно будет поделить на 
, и получится:
Вычисление проведите сами в качестве упражнения. При этом получается 
, так что наклонная асимптота при имеет уравнение 
.
Рис.7.13.График 
и его две наклонных асимптоты
Замечание 7.3 Если график имеет асимптоту (например, при ) и существует предел производной:
то 
. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17.
Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная 
не имеет никакого предела при . Дело в том, что значения могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.
Пример 7.13 Рассмотрим функцию 
. Очевидно, что прямая 
-- это асимптота графика при , так как первое слагаемое имеет предел, равный 0, при . Однако вычисление производной даёт
а эта функция при росте совершает колебания, причём при больших второе слагаемое становится пренебрежимо малым, и значения колеблются примерно между 
и 3. Следовательно, производная не имеет предела при .
Если же рассмотреть функцию 
, то её производная оказывается даже неограниченной на любом луче вида 
, хотя прямая по-прежнему служит асимптотой графика (проведите вычисления, доказывающие это, самостоятельно в качестве упражнения).
Не так уж редко встречается случай, когда, найдя наклонные и вертикальные асимптоты графика и исследовав поведение функции слева и справа от вертикальных асимптот, мы уже достаточно хорошо можем представить себе поведение функции.
Пример 7.14 Рассмотрим функцию 
. Мы можем заметить, что -- чётная функция, поскольку она зависит только от 
и, следовательно, не меняет знак при смене знака . Заметим также, что 
.
Знаменатель обращается в 0 при 
, то есть 
при 
и при 
. Тем самым, прямые и 
-- это вертикальные асимптоты. Подробнее разберём порведение функции при приближении к 
. Если , то 
и, следовательно, 
. Числитель 
при всех 
, так что дробь положительна. Значит, при . При (и 
) имеем 
, поэтому 
и 
, так что при . Вследствие чётности функции получаем также, что при 
и при 
.
Найдём теперь наклонные асимптоты. Вычисляя параметры и по формулам (7.2) и (7.3), получаем:
Таким образом, асимптоты при и при совпадают и имеют уравнение .
Суммируя сказанное, мы можем представить себе, что график функции ведёт себя примерно так:
Рис.7.14.График функции
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 82 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |