Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Бесконечно малые функции и их свойства.

Читайте также:
  1. Cущноcть, функции и клаccификация cоциальных технологий в cоциально-культурном cервиcе
  2. Funcio laesa (нарушение функции).
  3. I. Общая теория и функции систематической теории
  4. I. Функционалы , зависящие от одной функции
  5. II.1. Функции специального федерального государственного образовательного Стандарта для детей с нарушениями речи
  6. IV. Порядок и формы контроля за исполнением государственной функции
  7. Quot;Славные" малые
  8. А) Основные психофизические функции
  9. Алгоритм нахождения точек перегиба функции.
  10. Асимптоты графика функции

Определение:

α(x) является бесконечно малой при x→a или к ∞, если для любого ε>0 существует δ.

Теорема: если функция f(x), где b – конечное число, а α(x) – бесконечно малая при x→a f(x)=b+ α(x), то lim f(x)=b (при x→0).

Представим f(x)=b+ α(x) в следующем виде α(x)=f(x)-b => |f(x)-b|=|α(x)|< ε для всех xÎU(a, δ). Для всех xÎU(a, δ), |f(x)-b|< ε, lim f(x)=b (при x→a). Если lim f(x)=b (при x→a, x→∞) то f(x)=b+ α(x), α(x) – бесконечно малая функция.

Свойства:

1) Произведение бесконечно малой функции α(x) при x→a и функции f(x), ограниченной в некоторой δ 1-окрестности точки a, есть функция бесконечно малая.

Доказательство: Функция f(x) является ограниченной в некоторой окрестности точки a и, следовательно, существует такое число B > 0, что |f(x)|<b, для всех x удовлетворяющих условию |x-a|< δ1. Поскольку функция α(x) является бесконечно малой при x→a, то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число δ 2, что неравенство | α(x)|< ε/2 выполняется для всех x, удовлетворяющих условию |x-a|< δ 2

Выберем из чисел δ 1 и δ 2 наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие |x-a|< δ

является более сильным, чем условия |x-a|< δ1 и |x-a|< δ 2 и поэтому влечет неравенства |f(x)|<b и |α(x)|< ε/2. Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство

для всех x из δ-окрестности точки a.

2) Сумма конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая:

Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число; α(x) и β(x)– бесконечно малые функции при x→a. Тогда существуют такие положительные числа δ1 и δ 2, что условия

|x-a|< δ1 и |x-a|< δ2 влекут за собой соответствующие неравенства |α(x)|< ε/2 и |β(x)|< ε/2. Если δ=min{ δ1, δ2}, то условие |x-a|< δ перекрывает оба условия |x-a|< δ1 и |x-a|< δ2 и, следовательно,

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

3) Если приx→x0функцияα(x) является бесконечно малой величиной, а функцияf(x) ограниченной, то их произведениеα(x)·f(x) есть величина бесконечно малая при x→x0.

Доказательство. Так как α(x) бесконечно малая величина, то .С другой стороны, если f(x) ограниченная функция, то |f(x)|≤C. Поскольку α(x) может быть меньше любого наперед заданного положительного числа, то α(x)< ε/C.Обозначим γ(x)= α(x)·f(x). Отсюда следует, что ,то есть γ(x)= α(x)·f(x) является бесконечно малой величиной, что и требовалось доказать. Это правило тем более справедливо, если перемножаются бесконечно малые величины.

4) Произведение конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая:

|α(x)| и |β(x)| - бесконечно малые, то |α(x)|· |β(x)| - бесконечно малые.

Следствие: если α(x) – бесконечно малая функция, то α(x)n тоже бесконечно малая.

Определение 1: Б.м.α(x) называется б.м. более высокого порядка малости чем β(x), если lim(α(x)/ β(x))=0 (при x→a, x→∞).

α(x)=0[β(x)] – математическая запись вышеперечисленного.

Определение 2: Б.м.α(x) называется одного порядка малости из функции β(x), если lim(α(x)/ β(x))=a (при x→k, x→∞), где а≠0 и а≠∞.

Определение 3: Б.м.α(x) и β(x) называется эквивалентным б.м. если lim(α(x)/ β(x))=1 (при x→k, x→а).

Определение 4: Если lim(α(x)/[ β(x)]n)=A≠∞≠0, то α(x) б.м. порядка n от β(x).




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Множества. Функции. Логическая символика. | Второй замечательный предел. | Сравнения бесконечно малых функций, основные эквивалентности. | Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. | Производная сложной функции. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции. | Производная обратной функции. Производная показательно-степенной функции. | Уравнения касательной и нормали к кривой. |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав