Читайте также:
|
|
Определение:
α(x) является бесконечно малой при x→a или к ∞, если для любого ε>0 существует δ.
Теорема: если функция f(x), где b – конечное число, а α(x) – бесконечно малая при x→a f(x)=b+ α(x), то lim f(x)=b (при x→0).
Представим f(x)=b+ α(x) в следующем виде α(x)=f(x)-b => |f(x)-b|=|α(x)|< ε для всех xÎU(a, δ). Для всех xÎU(a, δ), |f(x)-b|< ε, lim f(x)=b (при x→a). Если lim f(x)=b (при x→a, x→∞) то f(x)=b+ α(x), α(x) – бесконечно малая функция.
Свойства:
1) Произведение бесконечно малой функции α(x) при x→a и функции f(x), ограниченной в некоторой δ 1-окрестности точки a, есть функция бесконечно малая.
Доказательство: Функция f(x) является ограниченной в некоторой окрестности точки a и, следовательно, существует такое число B > 0, что |f(x)|<b, для всех x удовлетворяющих условию |x-a|< δ1. Поскольку функция α(x) является бесконечно малой при x→a, то для любого произвольно малого числа ε > 0 существует такое число δ 2, что неравенство | α(x)|< ε/2 выполняется для всех x, удовлетворяющих условию |x-a|< δ 2
Выберем из чисел δ 1 и δ 2 наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие |x-a|< δ
является более сильным, чем условия |x-a|< δ1 и |x-a|< δ 2 и поэтому влечет неравенства |f(x)|<b и |α(x)|< ε/2. Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство
для всех x из δ-окрестности точки a.
2) Сумма конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая:
Доказательство. Пусть ε > 0 – произвольно малое число; α(x) и β(x)– бесконечно малые функции при x→a. Тогда существуют такие положительные числа δ1 и δ 2, что условия
|x-a|< δ1 и |x-a|< δ2 влекут за собой соответствующие неравенства |α(x)|< ε/2 и |β(x)|< ε/2. Если δ=min{ δ1, δ2}, то условие |x-a|< δ перекрывает оба условия |x-a|< δ1 и |x-a|< δ2 и, следовательно,
Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
3) Если приx→x0функцияα(x) является бесконечно малой величиной, а функцияf(x) – ограниченной, то их произведениеα(x)·f(x) есть величина бесконечно малая при x→x0.
Доказательство. Так как α(x) бесконечно малая величина, то .С другой стороны, если f(x) ограниченная функция, то |f(x)|≤C. Поскольку α(x) может быть меньше любого наперед заданного положительного числа, то α(x)< ε/C.Обозначим γ(x)= α(x)·f(x). Отсюда следует, что ,то есть γ(x)= α(x)·f(x) является бесконечно малой величиной, что и требовалось доказать. Это правило тем более справедливо, если перемножаются бесконечно малые величины.
4) Произведение конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая:
|α(x)| и |β(x)| - бесконечно малые, то |α(x)|· |β(x)| - бесконечно малые.
Следствие: если α(x) – бесконечно малая функция, то α(x)n тоже бесконечно малая.
Определение 1: Б.м.α(x) называется б.м. более высокого порядка малости чем β(x), если lim(α(x)/ β(x))=0 (при x→a, x→∞).
α(x)=0[β(x)] – математическая запись вышеперечисленного.
Определение 2: Б.м.α(x) называется одного порядка малости из функции β(x), если lim(α(x)/ β(x))=a (при x→k, x→∞), где а≠0 и а≠∞.
Определение 3: Б.м.α(x) и β(x) называется эквивалентным б.м. если lim(α(x)/ β(x))=1 (при x→k, x→а).
Определение 4: Если lim(α(x)/[ β(x)]n)=A≠∞≠0, то α(x) б.м. порядка n от β(x).
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |