Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Переход к криволинейным координатам

Часто область интегрирования такова, что уравнения поверхностей, ее ограничивающих, удобно записывать в цилиндрических координатах. Цилиндрическая система координат является сочетанием оси декартовой системы и полярной системы координат на плоскости с полюсом в начале координат и полярной осью, совмещенной с положительной частью оси .

Произвольную точку в пространстве определяют три числа: полярные координаты и точки – проекции точки на плоскость и число .

Декартовы координаты точки и ее цилиндрические координаты связаны формулами:

, ,

где , , , а выбор нужного угла из двух главных значений, даваемых формулой , можно произвести по знакам координат и , определяющим четверть круга, из которой следует брать значение угла .

Тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется по формуле

,

где – область изменения цилиндрических координат, . Пределы интегрирования расставляют, исходя из геометрического смысла координат и вида области .

Особенно удобно пользоваться формулой, когда задача обладает цилиндрической (осевой) симметрией: граница области – поверхность вращения, а подынтегральная функция зависит (после перехода к цилиндрическим координатам) только от и . В этом случае

,

где – плоская область, вращением которой от значения полярного угла до значения , вокруг оси получена область . Формулу можно обобщить на случай, когда осевая симметрия отсутствует:

.

В этом случае вид области зависит от угла .

Если во внешнем интеграле проводить интегрирование по переменной , то

,

где – сечение плоскостью .

В сферической системе координат положение точки в пространстве определяется тремя числами: длиной радиус-вектора, полярным углом проекции точки на плоскость и углом между радиус-вектором точки и осью . Декартовы координаты точки и ее сферические координаты связаны формулами:

,

где , , , а выбор нужного угла производится, как в случае цилиндрических координат, по знаку координат и .

Тройной интеграл с сферических координатах вычисляется по формуле

,

где – область изменения сферических координат, . Пределы интегрирования расставляют, исходя из геометрического смысла координат и вида области . Сферическими координатами особенно удобно пользоваться в тех случаях, когда задача имеет цилиндрическую или сферическую симметрию. Заметим, что угол имеет в сферических и цилиндрических координатах один и тот же геометрический смысл, поэтому справедлива формула, аналогичная:

.

Вид области , вообще говоря, зависит от . Внутренний двойной интеграл в формуле есть по сути интеграл в полярных координатах , от функции стой лишь разницей, что угол отсчитывается от положительного направления оси и изменяется в пределах .

Если задача обладает цилиндрической симметрией, то и .

В случае сферической симметрии

.