Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формула Лагранжа

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [ a, b ] и дифференцируема на открытом промежутке (a, b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a, b), для которой справедливо равенство:

. (8)

Рис. 8

Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа. Проведем наглядное обоснование этой формулы (см. рис. 8). Возьмем на графике функции f (x) точки A (a; f (a)) и B (b; f (b)). Проведем через эти точки прямую AB. Проведем также прямую L, параллельную прямой AB, так, чтобы она не пересекала график функции f (x) на промежутке (a, b). Сохраняя параллельность L и AB, будем "надвигать" прямую L на график f (x) до тех пор, пока прямая L не коснется графика f (x) в некоторой точке c промежутка (a, b). Геометрическую точку касания обозначим буквой M, а через MN обозначим касательную к графику f (x), параллельную прямой AB. Очевидно, угловые коэффициенты прямых MN и AB (то есть тангенсы углов наклона прямых к оси абсцисс) равны. Угловой коэффициент прямой MN равен f¢ (c), а угловой коэффициент прямой AB равен (f (b) - f (a))/(b-a), и справедлива формула:

.

Отсюда сразу получается формула (8). На приведенном рисунке видно, что могут существовать другие точки, принадлежащие промежутку (a, b), в которых касательные к графику функции параллельны прямой MN. Производную функции , вычисленную в любой из этих точек, можно подставить в правую часть формулы (8) вместо множителя .

Сформулируем теорему о монотонности функции. Если f¢ (x) > 0 на промежутке (a; b), то на (a; b) функция f (x)возрастает. Если f¢ (x) < 0 на промежутке (a; b), то на (a; b) функция f (x) убывает.

Докажем эту теорему. Пусть t ₁ и t ₂ — любые числа из промежутка (a; b), причем t ₂> t ₁. Тогда по теореме Лагранжа можно указать такое число c из промежутка (t ₁; t ₂), для которого справедливо равенство f (t ₂) – f (t ₁) = f¢ (c)(t ₂ – t ₁). Если f¢ (x) > 0 для всех x из промежутка (a; b), то f¢ (c) > 0, и из условия t ₂ > t ₁ следует, что f (t ₂) – f (t ₁) > 0. Таким образом, возрастание функции f (x) на промежутке (a; b) доказано. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.