Читайте также:
|
|
Пусть на промежутке [ a; b ] задана функция f (x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [ a; b ] произвольные числа x 1, x 2, x 3, ¼, xn -1, удовлетворяющие условию:
a < x 1,< x 2<¼< xn -1,< b. Эти числа разбивают промежуток [ a; b ] на n более мелких промежутков: [ a; x 1], [ x 1; x 2], ¼ [ xn -1; b ]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c 1Î[ a; x 1], c 2Î[ x 1; x 2], ¼ cn Î[ xn -1; b ].
Введем обозначения:D x 1 = x 1 – a; D x 2 = x 2 – x 1; ¼ D xn = b – xn- 1.
Составим сумму: .
Она называется интегральной суммой функции f (x) по промежутку [ a; b ]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 19.
Введем обозначение: l = max(D xi), i = 1, 2, ¼ n.. Величину l иногда называют параметром разбиения.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом
от функции по промежутку [ a; b ] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:
.
Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [ a; b ] и выбора точек ci.
|
Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегрирования.
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [ a; b ] функции f (x), отрезком [ a; b ] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 20 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой
|
.
Если f (x) < 0 во всех точках промежутка [ a; b ] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 21), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [ a; b ] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f (x), определяется формулой
.
Перечислим свойства определенного интеграла:
1) (здесь k ‑ произвольное число);
2) ;
3) ;
4) Если cÎ [ a; b ], то .
Из этих свойств следует, например, что .
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.
|
Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда cÏ [ a; b ]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 22. В этом случае верны равенства
.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 25 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |