Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Пр.1.2. Эллипс и его свойства

Читайте также:
  1. Автономные системы и свойства их решений.
  2. Активные свойства мембраны
  3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
  4. Бесконечно малые функции и их свойства.
  5. БОЕВЫЕ СВОЙСТВА СТРЕЛКОВОГО ОРУЖИЯ
  6. Вектор.Свойства.
  7. Взаимное влияние химических групп на свойства молекул
  8. Влияние рассеянного, солнечного и пониженного естественного освещения на пластические свойства формы
  9. Внешний вид, телесный состав и свойства падших духов.
  10. Волновые свойства микрочастиц. Дифракция электронов

 

  Определение Пр.1.2.1.   Кривая, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет вид , называется эллипсом.

 

    Определение Пр.1.2.2.   Число называется эксцентриситетом эллипса.   Точки называются фокусами эллипса.

 


 

    Прямые называются директрисами эллипса.   Число называется фокальным параметром эллипса.

 

Свойства эллипса:

 

 

1°. Эллипс - ограниченная кривая: и , что следует из записи канонического уравнения в форме ;

 

2°. Эллипс L обладает осевой симметрией относительно осей Ox и Oy, а также центральной симметрией относительно начала координат. Это вытекает из отношений

 

 

очевидных для канонического уравнения эллипса.

 

 

Свойства эллипса иллюстрирует рисунок Пр.1.2.1.   y   b D 2 B b A D 1   a -a F 2 O F 1 a x     -b  

 

 

Рисунок Пр.1.2.1.

 


 

Будем обозначать через расстояние между геометрическими объектами P и Q, а через и обозначим углы между касательной и фокальными радиусами - отрезками и .

 

  Теорема Пр.1.2.1. Пусть A = есть точка, принадлежащая эллипсу L, заданному каноническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения: 1°. 2°. ; 3°. ; 4°. ; 5°. , где ортогонален оси ; 6°. .

 

 

  Доказательство:   1°. Имеем . Тогда, учитывая каноническое уравнение и определение эксцентриситета, получаем для i =1,2     Но поскольку и , то и, следовательно, .   2°. Утверждение 2° очевидно в силу 1°.  

 


 

  3°. Далее .   4°. Справедливость 4° докажите самостоятельно.     5°. Наконец, .   6°. Доказательство приводится после доказательства теоремы Пр.1.2.2.     Теорема доказана.

 

 

Проведение касательных к эллипсу

 

 

  Теорема Пр.1.2.2. Пусть A = есть точка, принадлежащая эллипсу, заданному каноническим уравнением, тогда уравнение касательной к этому эллипсу, проходящей через точку A, имеет вид: .

 

  Доказательство:   Уравнение касательной в точке A имеет вид .   Для эллипса из канонического уравнения получаем , то есть . Но тогда , принимая во внимание, что , окончательно получим .   Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек , где уравнения касательных имеют вид .   Теорема доказана.

 


 

  Доказательство свойства 6° теоремы Пр.1.2.1.:   Пусть касательная к эллипсу проведена через точку касания A, имеющую координаты . Тогда расстояние от фокуса с координатами до касательной равно (см. задачу 3.2.1.)   , где .   Аналогично находим расстояние от фокуса с координатами до касательной   Поскольку углы и острые, то из равенств и следует .   Свойство 6° теоремы Пр.1.2.1. доказано.

 

 

Из теорем Пр.1.2.1. и Пр.1.2.2. следует возможность альтернативных формулировок свойств эллипса.

 

 

Фокальное свойство эллипса: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов, постоянна и равна .

 

Директориальное свойство эллипса: эллипс (исключая случай окружности) есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы.

Оптическое свойство эллипса: касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами точки касания равные острые углы. (Любой луч света, исходящий из одного фокуса, после отражения в эллипсе проходит через другой фокус.)


Уравнение эллипса в полярной системе координат

 

 

Поместим полюс полярной системы координат в левый фокус эллипса, а полярную ось направим по линии, соединяющей его фокусы. Для произвольной точки A, лежащей на эллипсе (рис. Пр.1.2.1.), имеем

.

 

Откуда     и окончательно .   y   A   r x j O     Рисунок Пр.1.2.2.

 

 




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 78 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Пр.1.1. Вырожденные линии второго порядка| Пр.1.3. Гипербола и ее свойства

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав