Читайте также:
|
|
Определение Пр.1.2.1. | Кривая, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет вид , называется эллипсом. |
Определение Пр.1.2.2. | Число называется эксцентриситетом эллипса. Точки называются фокусами эллипса. |
Прямые называются директрисами эллипса. Число называется фокальным параметром эллипса. |
Свойства эллипса:
1°. Эллипс - ограниченная кривая: и , что следует из записи канонического уравнения в форме ;
2°. Эллипс L обладает осевой симметрией относительно осей Ox и Oy, а также центральной симметрией относительно начала координат. Это вытекает из отношений
очевидных для канонического уравнения эллипса.
Свойства эллипса иллюстрирует рисунок Пр.1.2.1. | y b D 2 B b A D 1 a -a F 2 O F 1 a x -b |
Рисунок Пр.1.2.1.
Будем обозначать через расстояние между геометрическими объектами P и Q, а через и обозначим углы между касательной и фокальными радиусами - отрезками и .
Теорема Пр.1.2.1. | Пусть A = есть точка, принадлежащая эллипсу L, заданному каноническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения: 1°. 2°. ; 3°. ; 4°. ; 5°. , где ортогонален оси ; 6°. . |
Доказательство: 1°. Имеем . Тогда, учитывая каноническое уравнение и определение эксцентриситета, получаем для i =1,2 Но поскольку и , то и, следовательно, . 2°. Утверждение 2° очевидно в силу 1°. |
3°. Далее . 4°. Справедливость 4° докажите самостоятельно. 5°. Наконец, . 6°. Доказательство приводится после доказательства теоремы Пр.1.2.2. Теорема доказана. |
Проведение касательных к эллипсу
Теорема Пр.1.2.2. | Пусть A = есть точка, принадлежащая эллипсу, заданному каноническим уравнением, тогда уравнение касательной к этому эллипсу, проходящей через точку A, имеет вид: . |
Доказательство: Уравнение касательной в точке A имеет вид . Для эллипса из канонического уравнения получаем , то есть . Но тогда , принимая во внимание, что , окончательно получим . Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек , где уравнения касательных имеют вид . Теорема доказана. |
Доказательство свойства 6° теоремы Пр.1.2.1.: Пусть касательная к эллипсу проведена через точку касания A, имеющую координаты . Тогда расстояние от фокуса с координатами до касательной равно (см. задачу 3.2.1.) , где . Аналогично находим расстояние от фокуса с координатами до касательной Поскольку углы и острые, то из равенств и следует . Свойство 6° теоремы Пр.1.2.1. доказано. |
Из теорем Пр.1.2.1. и Пр.1.2.2. следует возможность альтернативных формулировок свойств эллипса.
Фокальное свойство эллипса: эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов, постоянна и равна .
Директориальное свойство эллипса: эллипс (исключая случай окружности) есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и меньше единицы.
Оптическое свойство эллипса: касательная в любой точке эллипса образует с фокальными радиусами точки касания равные острые углы. (Любой луч света, исходящий из одного фокуса, после отражения в эллипсе проходит через другой фокус.)
Уравнение эллипса в полярной системе координат
Поместим полюс полярной системы координат в левый фокус эллипса, а полярную ось направим по линии, соединяющей его фокусы. Для произвольной точки A, лежащей на эллипсе (рис. Пр.1.2.1.), имеем
.
Откуда и окончательно . | y A r x j O Рисунок Пр.1.2.2. |
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 78 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Пр.1.1. Вырожденные линии второго порядка | | | Пр.1.3. Гипербола и ее свойства |