Читайте также:
|
|
1. Корни характеристического уравнения действительны..
а) .
При . Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.
Заметим, что первое слагаемое – это проекция траектории на ось , второе слагаемое – проекция на ось .
Такая точка покоя называется
устойчивый узел.
б) .
Этот случай можно рассматривать как предыдущий, если формально положить t < 0. Получим те же траектории, что и в п. а), но стрелки на них будут направлены в другую сторону. Направление движение другое (t<0). Такая точка называется неустойчивый узел.
в) .
По вектору мы, находясь на траектории, стремимся к нулю, по вектору , наоборот, удаляемся от нуля.
Такая точка покоя - седло.
г) .
Это – тоже седло, но стрелки
направлены в другую сторону.
Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.
Седла – неустойчивые точки покоя.
Заметим, в ситуациях узлов и седла траектория, начавшись в определенном квадранте, в нем и остается.
д) .
Точка покоя – дикритический узел,
Устойчивый при , неустойчивый при
е)
Точка покоя - вырожденный узел, при устойчивая, но не асимптотически устойчивая. Если , то точка покоя - неустойчивая (стрелки направлены в обратную сторону)
ж) . Точка безразличного равновесия. При изменении времени любая точка остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.
2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.
Параметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат (в периодической составляющей).
а) Если , то траектория приближается к началу координат с ростом t (спираль), так как - убывающая функция. Точка покоя устойчивый фокус асимптотически устойчива
б) если , то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как - возрастающая функция. Точка покоя неустойчивый фокус неустойчива
в) если , то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя центр устойчива, но не асимптотически устойчива.
а) б) в)
Пример. , ,
Классифицировать точки покоя в зависимости от параметра.
,
а) седло,
б) неустойчивый узел
в) вырожденный узел
- комплексно сопряженные.
Так как , то точка покоя – неустойчивый фокус
3) , точка покоя – неустойчивый дикритический узел.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |