Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Точка покоя .

Читайте также:
  1. Бездротова точка доступу
  2. Визитная карточка образовательного учреждения
  3. Виртуальная точка доступа Wi-Fi силами Windows 7
  4. Виталик Золотые Пальчики. Порнозомби и их точка G
  5. ВИШНЕВАЯ КОСТОЧКА
  6. Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.
  7. Глава вторая. Точка Невозврата
  8. Д) Методологическая точка зрения на проблему теоретизирования в психопатологии
  9. Дай хоть немного покоя своему разуму. Посмотри на проблемы отстраненно. Успокойся, а потом решай.
  10. Каждая клеточка моего любимого тела излучает радость.

 

1. Корни характеристического уравнения действительны..

 

а) .

При . Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.

Заметим, что первое слагаемое – это проекция траектории на ось , второе слагаемое – проекция на ось .

Такая точка покоя называется

устойчивый узел.

 

 

б) .

Этот случай можно рассматривать как предыдущий, если формально положить t < 0. Получим те же траектории, что и в п. а), но стрелки на них будут направлены в другую сторону. Направление движение другое (t<0). Такая точка называется неустойчивый узел.

 

в) .

По вектору мы, находясь на траектории, стремимся к нулю, по вектору , наоборот, удаляемся от нуля.

 

Такая точка покоя - седло.

г) .

Это – тоже седло, но стрелки

направлены в другую сторону.

 

Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.

Седла – неустойчивые точки покоя.

Заметим, в ситуациях узлов и седла траектория, начавшись в определенном квадранте, в нем и остается.

д) .

Точка покоя – дикритический узел,

Устойчивый при , неустойчивый при

 

е)

Точка покоя - вырожденный узел, при устойчивая, но не асимптотически устойчивая. Если , то точка покоя - неустойчивая (стрелки направлены в обратную сторону)

ж) . Точка безразличного равновесия. При изменении времени любая точка остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.

 

 

2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

Параметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат (в периодической составляющей).

а) Если , то траектория приближается к началу координат с ростом t (спираль), так как - убывающая функция. Точка покоя устойчивый фокус асимптотически устойчива

б) если , то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как - возрастающая функция. Точка покоя неустойчивый фокус неустойчива

в) если , то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя центр устойчива, но не асимптотически устойчива.

а) б) в)

 

 

Пример. , ,

Классифицировать точки покоя в зависимости от параметра.

 

,

а) седло,

б) неустойчивый узел

в) вырожденный узел

 

- комплексно сопряженные.

Так как , то точка покоя – неустойчивый фокус

3) , точка покоя – неустойчивый дикритический узел.

 

 




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Метод подбора формы частного решения. | Лекции 19-20. Нормальные системы дифференциальных уравнений. | Первые интегралы. | Автономные системы и свойства их решений. | Фазовый поток. | Лекция 21. Системы линейных дифференциальных уравнений. | Теорема о структуре общего решения однородной системы. | Метод вариации произвольной постоянной. | Лекция 22. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. | Лекции 23-24. Устойчивость движения, классификация точек покоя, теоремы Ляпунова. |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав