Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

I. Функционалы , зависящие от одной функции

Читайте также:
  1. Cущноcть, функции и клаccификация cоциальных технологий в cоциально-культурном cервиcе
  2. Funcio laesa (нарушение функции).
  3. I. Общая теория и функции систематической теории
  4. II.1. Акрополь как ансамбль свободной гармонии
  5. II.1. Функции специального федерального государственного образовательного Стандарта для детей с нарушениями речи
  6. IV. Порядок и формы контроля за исполнением государственной функции
  7. My Day Off – Мой выходной день
  8. V Рождение всего потомства лейкозных клеток происходит из одной мутировавшей клетки.
  9. VI Оплата одной десятитысячной

Постановка задачи

Рассмотрим множество допустимых функций (кривых) удовлетворяющих условиям:

a. Функции определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке , где и заданы, т.е. ;

b. Функции удовлетворяют граничным условиям

(1)

где значения заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничные точки.

На множестве задан функционал

(2)

где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Среди допустимых кривых , принадлежащих множеству требуется найти кривую на которых функционал (2) достигает экстремума т.е.

(3)

Так как на кривые , образующих множество не наложено дополнительных условий , кроме граничных задача (3) называется задачей поиска безусловного экстремума. Также рассматриваются задачи поиска условного экстремума, когда на искомые функции кроме граничных условий накладываются дополнительные конечные, интегральные или дифференциальные условия.

Необходимое условие экстремума в данном случае имеет вид

. (4)

К выражению (4) применима основная лемма вариационного исчисления, так как в силу наложенных ограничений на кривой функция является непрерывной, а вариация - произвольной непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей условиям , .

Следовательно, кривая , на которой достигается экстремум функционала, удовлетворяет уравнению

(5)

Уравнение (5) называется уравнением Эйлера. В развернутой форме уравнение (5) имеет вид

(6)

и при представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение зависит от двух произвольных постоянных и и определяет двухпараметрическое семейство экстремалей. Два граничных условия и позволяют найти и и, как следствие, кривую , на которой может достигаться экстремум функционала. Только на удовлетворяющих граничным условиям экстремалях может реализоваться экстремум. Чтобы выяснить, достигается ли на экстремали экстремум функционала, а если да, то какой (минимум или максимум), следует использовать достаточные условия.

Теорема 1. (необходимые условия экстремума в задаче (3))

Если на кривой удовлетворяющей граничным условиям , , достигается слабый экстремум функционала в задаче (3), то она удовлетворяет уравнению Эйлера

Замечания (1)

1. Краевая задача (5), (1) не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

2. Во многих практических задачах существование решения очевидно, и если решение задачи (5), (1) единственно, то экстремаль будет решением поставленной задачи.

3. Можно указать условия, при которых можно гарантировать существование непрерывной второй производной экстремали


Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 23 | Нарушение авторских прав

Понятие функционала | Решение. | Уравнение Эйлера записывается в форме | Замечания | Замечание. | Зависящие от нескольких функций | Зависящие от производных высшего порядка одной функции | зависящие от производных высшего порядка нескольких функции |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2021 год. (0.022 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав