Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Частотные и логарифмические характеристики САУ

Частотными характеристиками обыкновенной линейной САУ (рис.1.1) называется Формулы и графики, характеризующие реакцию системы на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме.

Рис. 1.1

Гармоническое входное воздействие - это функция времени, которая может быть представлена в виде линейных комбинаций функций и . Если на вход системы подать гармоническое воздействие

,

(1)

где – амплитуда воздействия; - угловая частота воздействия, то на выходе системы в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты , но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол , т.е.

,

(2)

где - амплитуда выходной величины; - сдвиг фаз между выходной и входной величинами.

Передаточные функции и уравнения замкнутой системы

Из цепи звеньев любой сложности, показанной на рисунке получается замкнутая система при помощи единичной отрицательной обратной связи. Эту братную связь называют главной в отличии от местных обратных связей, которые могут быть внутри в составе разомкнутой цепи звеньев.

Пусть имеются внешние воздействия: g(t) – задающее и f(t) – возмущающее. В общем случае могут быть введены несколько возмущающих воздействий, приложенных в разных местах системы.

Задана передаточная функция разомкнутой цепи:

В виде отношения многочленов с единичными коэффициентами при младших членах, т.е.

где K – общий коэффициент усиления разомкнутой системы.

Передаточные функции замкнутой системы записываются отдельно для каждой комбинации входа и выхода, а значит, и для каждого внешнего воздействия в отдельности.

Разделим каналы прохождения сигналов в сиситеме от каждого внешнего воздействия. Возмущающее воздействие f(t) может быть приложено в любом месте. Но, используя второе правило структурных преобразований всегда можно выделить ту часть схемы, через которую проходят сигналы от f(t) на выход x. Это показано на рисунке в виде передаточной функции M(s):

Для задающего воздействия g(t) схема прохождения сигналов сохраняется в полном виде W(s). На выходе имеем формально:

(на самом деле M(s) входит в общую схему как часть W(s))

Основные соотношения, следовательно, в изображениях по Лапласу будут иметь вид:

E=G-X (1)

X=W(s)E+M(s)F. (2)

В расчетах автоматических систем применяют три основных вида передаточных функций замкнутой системы.

1.Главная передаточная функция замкнутой системы (при f(t)=0);

Ф(s) =

из формулы (1) и (2) при F=0 имеем:

X=W(s)(G - X),

откуда

2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки (при f(t) = 0);

По формуле (1) получаем:

откуда

3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию (при g(t) = 0);

Из формул (1) и (2) при G = 0 имеем:

X = W(s) (-X) + M(s)F

откуда

Где R(s) = L(s)M(s), причем многочлен R(s) зависит от места приложения возмущающего воздействия. Заметим, что поскольку при g(t) = 0 имеем E = - X, то передаточная функция замкнутой системы для ошибки по возмущающему воздействию будет той же, что и для регулируемой величины с точностью до знака.

Важно отметить, что знаменатель всех видов передаточной функции замнутой системы один и тот же.

Для наглядного представления частотных свойств САУ используются следующие частотные характеристики:

1) Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧX) -это кривая, описываемая концом вектора на комплексной плоскости U-V (годограф вектора ) при изменении частоты входного воздействия от -¥ до +¥ (рис.1.2). Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧК, соответствующую какой-либо выбранной частоте , равна модулю ЧПФ.

Угол между этим вектором и положительным направлением вещест­венной оси равен аргументу или фазе ЧПФ. АФЧХ соответствует выражение (5).

Рис. 1.2.	Рис.1.3	Рис. 1.4

2) амплитудная частотная характеристика (ЯЧХ) - это кривая
изменения отношения амплитуд выходной и входной величин в зави­симости от частоты (рис.1.3). Она показывает, как пропускает САУ сигнал различной частоты. АЧХ соответствует выражение (8).

3) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это кривая изме­нения сдвига фаз выходной величины по отношению к входной в зависимости от частоты (рис.1.4). Она показывает фазовые сдвиги, вно­симые САУ на различных частотах. ФЧХ соответствует выражение (9).

4) Вещественная частотная характеристика (ВЧК) - это кривая, которой соответствует вещественная составляющая ЧПФ (рис.1.5) и вы­ражение (6).

5) Мнимая частотная характеристика (МЧХ) - это кривая, которой
соответствует мнимая составляющая ЧПФ (рис.1.6) и выражение (7).

Рис.1.5. Вещественная частотная характеристика – ВЧХ	Рис.1.6. Мнимая частотная характеристика – МЧХ

Кривые АФЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ обладают свойством симметрии. Поэтому по результатам вычисления кривых для положительных частот можно построить кривые для всего диапазона частот , так как , , , . В связи с этим исследование звеньев (систем) можно проводить только в положительном диапазоне частот, тем более, что отрицательные частоты реально не существуют.

Исследование САУ значительно упрощается при использовании логарифмических частотных характеристик.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) – это кривая (рис.1.7), построенная в логарифмическом масштабечастот в соответствии с выражением:

(10)

Единицей измерения величины , которая откладывается по оси ординат, является децибел. По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе . Равномерной единицей по оси абсцисс является декада – это любой отрезок, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз.

Рис.1.7. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика.

Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза . Она определяется из условия

или

(11)

Ось абсцисс () соответствует значению =l, т.е. прохождению амплитуды сигнала через САУ без изменения. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значениям , т.е. усилению амплитуды, а нижняя полуплоскость – значениям , т.е. ослаблению амплитуды. ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде асимптотической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий (асимптот) с наклонами, кратными величине 20 дб/дек.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) - это кривая ФЧХ , построенная в логарифмическом масштабе частот (рис.8). Как и при построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают значение частоты в логарифмическом масштабе , а записывают действительное значение частоты. По оси ординат откладывают значении функции . Таким образом, ЛФЧХ – это зависимость от логарифма частоты .

Рис.1.8. Логарифмическая фазовая частотная характеристика.