Теория вероятностей.
Цель работы: Изучить возможности MathCAD по работе с задачами теории вероятностей.
Задание: решить предложенные задачи
1. Функции и инструменты MathCAD.
Прежде чем приступать к решению задач теории вероятностей в MathCAD, познакомимся с инструментами, которые предоставляет пакет для их решения.
Напомним, что дискретная случайная величина 
, принимающая значения 
с вероятностями 
, может быть задана распределением – таблицей вида:
|
| 
| 
| … | 
| … |
| 
| 
| … | 
| … |
В среде MathCAD такие таблицы удобно хранить в виде матриц размерности 
. Функция распределения случайной величины, имеющей приведённое выше распределение, имеет вид:
.
Задание 1. Найти и построить функцию распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
| -2 | ||||
| 0,1 | 0,5 | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
Решение.
1. Зададим закон распределения дискретной случайной величины в виде матрицы размерности 
.
2. Зададим функцию распределения дискретной случайной величины 
.
3.
 |
Замечание 1. Распределение случайной величины сохранено в матрице А: 
– значения случайной величины; 
– соответствующие вероятности; 
. Чтобы нумерация начиналась с единицы, необходимо перед использованием индексированных переменных ввести команду ORIGIN:=1.
Замечание 2. Функцию распределения, заданную разными выражениями на разных интервалах изменения аргументов, можно определить следующим образом: разверните панель Инструменты программирования щелчком по кнопке 
и панель Булевых инструментов 
. Они нам понадобятся для определения функции. Введите имя функции и знак присвоения. На панели Инструментов программирования нажмите кнопку 
, введите в помеченной позиции нуль, а затем нажмите кнопку 
на той же панели и введите неравенства, определяющие первый интервал изменения аргумента. Затем перейдите ко второй строке и выполните аналогичные операции.
Замечание 3. Графики функций распределений построены стандартным для декартовых графиков способом. Следует помнить, что MathCAD не совсем корректно строит графики ступенчатых функций, соединяя отрезками прямых значения функции в точке скачка. Более точный график функции распределения представляет собой отрезки, параллельные оси абсцисс, с «выколотым» правым концом.
Для проведения вычислений со случайными величинами (непрерывными и дискретными) в MathCAD есть богатая библиотека встроенных функций наиболее распространенных стандартных распределений. Каждое распределение представлено в библиотеке тремя функциями – плотностью вероятностей, функцией распределения и функцией, обратной к функции распределения.
Например, для работы с нормальным распределением предназначены функции dnorm(x, 
, 
), pnorm(x, , ) и qnorm(x, , ). Значением функции dnorm(x, , ) является значение в точке х плотности вероятностей случайной величины , имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 
и дисперсией 
; значение функции pnorm(x, , ) – значение функции распределения этой же случайной величины ; значением функции qnorm(x, , ) служит решение уравнения 
, где – функция распределения, определенная функцией pnorm(x, , ), т. е. значением qnorm(x, , ) является квантиль уровня нормально распределенной случайной величины. Имена всех встроенных функций, определяющих плотности вероятностей, начинаются с буквы d, определяющих функции распределения – с буквы р, определяющих квантили – с буквы q.
Ниже приведены список всех распределений, представленных в библиотеке MathCAD, и имена соответствующих функций:
-бета-распределение – dbeta(x, 
, 
), pbeta(x, , ), qbeta(x, , );
-биномиальное распределение – dbinom(k,n,p), pbinom(k,n,p), qbinom(p,n,r);
-распределение Коши – dcauchy(x,l,s), pcauchy(x,l,s), dcauchy(p,l,s);
- 
-распределение – dchisq(x,d), pchisq(x,d), qchisq(p,d);
-экспоненциальное распределение – dexp(x,r), pexp(x,r), qexp(p,r);
-распределение Фишера (F-распределение) – dF(x, 
, 
), pF(x, , ),
qF(x, , );
-гамма-распределение – dgamma(x,s), pgamma(x,s), qgamma(p,s);
-геометрическое распределение – dgeom(x,p), pgeom(x,p), qgeom(p,r);
-логнормальное распределение – dlnorm(x, , ), plnorm(x, , ),
qlnorm(x, , );
-логистическое распределение – dlogis(x,l,s), plogis(x,l,s), qlogis(p,l,s);
-отрицательное биномиальное распределение – dnbinom(k,n,p), pnbinom(k,n,p), qnbinom(p,n,r);
-нормальное распределение – dnorm(x, , ), рпогт(x, , ), qnorm(x, , );
-распределение Пуассона – dpois(x, 
), ppois(x, ), qpois(x, );
-распределение Стьюдента – dt(x,d), pt(x,d), qt(p,d);
-равномерное распределение – dunif(x,a,b), punif(x,a,b), qunif(p,a,b);
-распределение Вейбулла – dweibull(x,s), pweibull(x,s), qweibull(p,s).
Кроме того, в библиотеке встроенных функций MathCAD, естественно, есть функция Лапласа 
.
Для вычисления числовых характеристик дискретных и непрерывных случайных величин применяются операторы интегрирования и дифференцирования, вычисления конечных сумм и суммирования рядов, которые вызываются щелчком мыши по кнопке в панели 
и заполнением соответствующих помеченных полей. Примеры использования этих операций при решении задач теории вероятностей приведены в последующих разделах.
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 20 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |