Цель работы: изучить способы вычисления числовых характеристик случайных величин с использованием пакета Mathcad.
Задание: решить представленную задачу.
1. Математическое ожидание.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений.
Если случайная величина принимает значения с разной вероятностью, математическое ожидание вычисляется по формуле
Пример. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей:
| Х | |||||
| Р | 0,15 | 0,25 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Зададим векторы
Найдем математическое ожидание
Если случайная величина принимает ряд значений с равной вероятностью, то математическое ожидание определяется как среднее арифметическое значение некоторого количественного признака выборки.
В Mathcad среднее значение выборки можно подсчитать с помощью функции mean(x).
Пример. При измерении величины силы тока были получены следующие значения: 0.45, 0.49, 0.44, 0.42, 0.48, 0.41, 0.44, 0.56, 0.47, 0.45, 0.52, 0.43. Вычислить выборочное среднее
=0.463
При обработке экспериментальных данных среднее значение выборки считается равным значению параметра. Это утверждение верно только в том случае, если выборка является генеральной, т.е. содержит все возможные значения измеряемой величины. В реальной ситуации с генеральными совокупностями работать невозможно, а всегда приходится делать из них некоторые небольшие выборки. В зависимости от условий отбора и объема выборки она может передавать особенности генеральной совокупности с различной точностью. При этом такие характеристики, как среднее значение и дисперсия, приобретают случайный характер. Исследование особенностей поведения такого рода величин – очень сложная и важная статистическая задача.
2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение
Определение. В статистике дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений случайной величины от ее среднего значения:
В общем случае дисперсия является характеристикой степени рассеяния значений выборки по сравнению с ее средней величиной.
В Mathcad простая выборочная дисперсия вычисляется с помощью функции 
. Кроме того, существует и функция 
, которая определяет исправленную дисперсию, которая на практике используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии при малом объеме выборки:
На практике используют не саму дисперсию, а квадратный корень из нее, который называется среднеквадратичным отклонением. В Mathcad существуют две функции для вычисления этого параметра: 
– выборочное стандартное отклонение и 
– исправленное среднеквадратичное отклонение.
Пример. Подбрасывается игральный кубик. Случайная величина Х – количество выпавших очков. Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины Х.
Аналогичные результаты получаются и при использовании формул:
.
3. Мода и медиана
Определение. Модой в статистике называют варианту, которая встречается в выборке наиболее часто. В Mathcad подсчитать моду выборки можно с помощью встроенной функции 
. В случае, если все варианты встречаются в выборке с одинаковой частотой, система выдаст сообщение: 
(ни одна величина не встречается чаще, чем все остальные).
Определение. Медианой называется варианта, которая делит вариационный ряд (рассортированную выборку) на две части, равные по количеству вариант. То есть если количество элементов выборки нечетное и равно 
, то медианой будет являться 
– й элемент. В случае четного количества вариант медиана определяется как среднее арифметическое между 
– м и – м элементами выборки. В Mathcad медиана вычисляется с помощью встроенной функции 
.
Пример. Вычисление моды и медианы
Статистические функции работают не только с векторами - столбцами,но и с векторами – строками.
4. Размах варьирования
Важная характеристика рассеяния вариационного ряда – размах варьирования может быть просто вычислена в Mathcad с помощью двух специальных матричных функций: 
– находит максимальное значение в выборке, 
– функция находит минимальную величину в выборке. Используя описанные функции, размах варьирования можно задать как
.
Пример. Вычисление размаха варьирования. Для задания вектора выборки воспользуемся генератором случайных чисел, распределенных по показательному закону:
.
5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Для решения некоторых задач в статистике бывает необходимым определить, на какое максимальное целое число делятся без остатка все величины в выборке. В Mathcad очень просто вычислить такое число. Для этого необходимо воспользоваться встроенной функцией 
(от англ. Greatest common divisor – наибольший общий делитель).
Схожей с описанной является задача поиска наименьшего числа, которое делится без остатка на все значения элементов выборки. В Mathcad ее можно решить с помощью встроенной функции 
(сокращение от Least common multiple – наименьшее общее кратное).
Пример. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Задача. Для заданных случайных величин найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану), размах варьирования, а также наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное элементов массива Х.
№1 №2
| Х | -1 | ||||
| р | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
| Х | |||||
| р | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
№3 №4
| Х | -5 | -4 | -3 | -1 | |
| р | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
| Х | -1 | ||||
| р | 0,3 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
№5 №6
| Х | |||||
| р | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
| Х | -2 | -1 | |||
| р | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
№7 №8
| Х | -4 | -1 | |||
| р | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,1 |
| Х | -3 | -2 | -1 | ||
| р | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
№9 №10
| Х | |||||
| р | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,2 |
| Х | |||||
| р | 0,4 | 0,2 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
№11 №12
| Х | -3 | -2 | |||
| р | 0,3 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,1 |
| Х | |||||
| р | 0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 |
№13 №14
| Х | -1 | ||||
| р | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
| Х | |||||
| р | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,2 |
Отчет о выполненной работе должен содержать:
1. Тему и цель работы
2. Индивидуальное задание согласно варианту
3. Решение предложенных задач
Вопросы к защите лабораторной работы
1. Дайте определение основных числовых характеристик случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана). Каков их вероятностный смысл?
2. Что называется размахом выборки?
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 66 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |