|
Рассмотрим уравнения вида левые части которых являются точными производными от некоторой функции , т.е. Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Из последнего равенства следует, что соотношение является первым интегралом уравнения (1) - уравнением (n-1) - го порядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнение в точных производных допускают понижение порядка на единицу.
Пример 5. Решить уравнение
Решение.
Имеем откуда следует, что или Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид .
ВОПРОС 6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙТСТВА РЕШЕНИЙ ЛОДУ. ТЕОРЕМА О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛОДУ. РЕШЕНИЕ ЛОДУ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида
где bo(x) ≠ 0, b1(x),..., bn(x), g(x) - заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции bo(x), b1(x),..., bn(x) называются коэффициентами уравнения (3.11), а функция g(x) - его свободным членом.
Если свободный член g(x)=0, то уравнение (3.11) называется линейным однородным уравнением; если g(x) ≠ 0, то уравнение (3.11) называется неоднородным.
Разделив уравнение (3.11) на bo(x) ≠ 0 и обозначив
запишем уравнение (3.11) в виде приведенного:
Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а;b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см. теорему. 3.1).
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 58 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |