Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнение в точных производных.

Рассмотрим уравнения вида левые части которых являются точными производными от некоторой функции , т.е. Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Из последнего равенства следует, что соотношение является первым интегралом уравнения (1) - уравнением (n-1) - го порядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнение в точных производных допускают понижение порядка на единицу.

Пример 5. Решить уравнение

Решение.

Имеем откуда следует, что или Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид .

 

ВОПРОС 6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. СУЩЕСТВОВАНИЕ И СВОЙТСТВА РЕШЕНИЙ ЛОДУ. ТЕОРЕМА О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛОДУ. РЕШЕНИЕ ЛОДУ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида

где bo(x) ≠ 0, b1(x),..., bn(x), g(x) - заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции bo(x), b1(x),..., bn(x) называются коэффициентами уравнения (3.11), а функция g(x) - его свободным членом.

Если свободный член g(x)=0, то уравнение (3.11) называется линейным однородным уравнением; если g(x) ≠ 0, то уравнение (3.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (3.11) на bo(x) ≠ 0 и обозначив

запишем уравнение (3.11) в виде приведенного:

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а;b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см. теорему. 3.1).




Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 58 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

ВОПРОС 2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. | Решение. | ВОПРОС 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. | Случай 1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные | Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные | Пример 1 | ВОПРОС 7. ТЕОРЕМА О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛНДУ. РЕШЕНИЕ ЛНДУ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ МЕТОДОМ ПОДБРА. | Решение ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью | ВОПРОС 8. РЕШЕНИЕ ЛНДУ МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ. | ВОПРОС 18. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД МАКЛАРЕНА SIN,COS И Т.Д. |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав