|
Предположим, что характеристическое уравнение L(λ) = 0 имеет n корней λ1, λ2,..., λn. В этом случае общее решение дифференциального уравнения записывается в простом виде: где C1, C2,..., Cn − постоянные, зависящие от начальных условий.
Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные
Пусть характеристическое уравнение L(λ) = 0 степени n имеет m корней λ1, λ2,..., λm, кратность которых, соответственно, равна k1, k2,..., km. Ясно, что выполняется условие Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид
Видно, что в формуле общего решения каждому корню λi кратности ki соответствует ровно ki членов, которые образуются умножением x в определенной степени на экспоненциальную функцию exp(λi x). Степень x изменяется в интервале от 0 до ki − 1, где ki − кратность корня λi.
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 18 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |