Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ВОПРОС 18. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД МАКЛАРЕНА SIN,COS И Т.Д.

ВОПРОС 19.ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЁННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пример 1.

Вычислить с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением Тогда

=
0,0238+0,0046–
–0,0008≈0,7475≈0,748.

Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

Вычисление интегралов.

Подынтегральную функцию представляют в виде ряда Тейлора и почленно интегрируют.

Пр. Вычислить J = dx(sin x /x) с точностью 0,001

J = dx 1/x (x – x3/3! + x5/5! –..) = (x – x3/3!3 + x5/5!5 -..) |0.50 = 1/2 –1/ 233!3 + ½55!5 -.

Имеем 1/ 233!3 = 1/144 > 0.001, ½55!5 = 1/19200 < 0.001. Ряд знакочередующийся и по признаку Лейбница погрешность не превосходит модуля первого из отброшенных членов, т.е. точность 0,001 обеспечивают два первых члена ряда J = 1 + 1/144 = 0.4931

Пример 2.

Вычислить с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением Тогда

=

0,0238+0,0046–

–0,0008≈0,7475≈0,748.

Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.

Проинтегрировать дифференциальное уравнение y′=y+x2, y(0)=-2 методом последовательного дифференцирования.

Будем искать решение в виде ряда Маклорена:

y(x)=y(0)+.

Вычислим производные: y′=y+x2, y″=y′+2x, y″′=y″+2, y(4)= y″′, …, y(n)= y″′ при n=4, 5, ….

При x=0 получаем: y(0)=-2, y′(0)=-2, y″(0)=-2, y(n)(0)=0 при n=3, 4, 5. Окончательно получаем y(x)=-2-2x-x2.