При интерполировании используется условие равенства значений аппроксимирующей функции и данной функции в заданных точках - узлах интерполяции. Это означает, что значения функции в узлах должны быть заданы с высокой степенью точности. На практике часто возникает задача аппроксимации таблично заданной функции, значения которой известны приближенно. В этом случае используются другие способы аппроксимации. Наиболее распространенный из них - метод наименьших квадратов.
Подбор эмпирических формул
При обработке экспериментальных (опытных) данных нужно иметь в виду ошибки этих данных. Эти ошибки делятся на три категории:
- систематические
- случайные
- грубые.
Систематические ошибки могут быть вызваны условиями эксперимента, дефектами аппаратуры и т.п. Обычно они дают отклонение в одну сторону от истинного значения измеряемой величины. Эти ошибки можно устранить наладкой аппаратуры или введением соответствующих поправок.
Грубые ошибки явно искажают результаты измерений, они чрезмерно большие и обычно пропадают при повторении опыта. Измерения с такими ошибками отбрасываются и не учитываются при обработке результатов.
Случайные ошибки определяются большим числом факторов, которые не могут быть устранены, либо достаточно точно учтены при измерениях и обработке результатов. Они имеют несистематический характер и дают отклонения в ту и в другую сторону при повторении измерений. С вероятностной точки зрения математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. С помощью статистической обработки результатов измерений можно найти закон распределения ошибок измерений, наиболее вероятный диапазон изменения искомой величины (доверительный интервал) и другие параметры. Рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данного учебного курса. Здесь ограничимся определением связи между исходными параметром 
и искомой величиной 
на основе таблицы значений 
, 
.
Задача в том, чтобы найти функцию 
, значения которой при 
мало отличаются от опытных данных 
. Такая функция 
называется эмпирической формулой.
График эмпирической зависимости, вообще говоря, не проходит через заданные точки 
. Это приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная формула повторила бы все ошибки, которые есть в исходных данных.
Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов:
1) подбор общего вида формулы
2) определение наилучших значений содержащихся в формуле параметров.
Иногда общий вид формулы известен из физических или иных соображений. В других случаях вид может быть произвольным, предпочтение отдаетcя наиболее простым формулам, которые могут выбираться из геометрических соображений, после нанесения экспериментальных точек на координатную плоскость и сравнения полученной кривой с графиками известных функций.
Простейшая эмпирическая формула
(49)
О применимости этой формулы можно судить по величинам 
.
Если 
, то формула применима.
В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены экспериментальные данные, когда их график в декартовой системе координат не является прямой. Это может быть достигнуто путем введения новых переменных:
, которые выбираются так, чтобы точки 
лежали на прямой. Такое преобразование называется выравниванием данных.
Например, степенная зависимость 
, логарифмированием преобразуется к виду
(50)
Подбор параметров для выбранного типа эмпирической формулы.
Пусть выбрана эмпирическая формула типа
(51)
где 
- неизвестные параметры.
Для выбора параметров можно применить метод средних, а именно условие равенства нулю суммы отклонений 
во всех точках 
(52)
Имеем одно уравнение с Ошибка! Закладка не определена. неизвестным. Для однозначной разрешимости разбиваем (52) на систему, состоящую из m +1 уравнений. Например,
(53)
Так как систему (53) можно составить по-разному, то и получаемые решения (значения параметров 
) будут различными.
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 16 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |