Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Цепные дроби.

Следующий метод связан с непрерывными или цепными дробями.

Обратимся вновь к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь a/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a/b = q0 + r1/b. Но r1/b = 1/b/r1, и на основании второго равенства той же системы имеем b/r1 = q1 + r2/r1. Значит, a/b=q0+1/(q1+r2/r1). Далее получим a/b=q0 + 1/(q1+1/(q2+r3/r2)). Продолжим этот процесс до тех пор. Пока не придём к знаменателю qn

В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: a / b = q0 + 1 / (q1 + 1 / (…+ 1 / qn)). Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в тоже время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись [q0; q1, q2, …,qn].

Задача 5.

Представить дробь 40/31 в виде цепной.

Решение.

40/31 = 1 + 9/31 = 1 + 1/3 /9 = 1 + 1/(3 + 4 / 9) = 1 + 1 / (3 + 1 / 9 / 4) = =1 + 1 / (3 + 1 / (2 +1 / 4)) = [1; 3, 2, 4]

Удобство применения цепных дробей заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой счисления. По этой причине они эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения цепные дроби не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий. [2, c. 79 – 81]

 

Метод разложения на множители.

Задача 6.

Решите уравнение в целых числах: x² - y² = 91.

Решение.

Разложим левую часть данного уравнения на множители: (х–у)(х+у)= =91. Так как 91= 1 * 91 =91 * 1=(-1) * (-91) = (-91) * (-1) = 7 * 13 =

= 13 * 7 = (-7) * (-13) = (-13) * (-7), то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем:

1) ì x – y = 1

í

î x + y = 91

(46; 45)

2) ì x – y =- 1

í

î x + y =- 91

(-46; -45)

3) ì x – y = -91

í

î x + y = 1

(46; -45)

4) ì x – y = -91

í

î x + y = -1

(-46; 45)

5) ì x – y = 7

í

î x + y = 13

(10; 3)

6) ì x – y = -7

í

î x + y = -13

(-10; -3)

7) ì x – y = 13

í

î x + y = 7

(10; -3)

8) ì x – y = -13

í

î x + y = -7

(-10; 3)

Ответ.

(46; 45),(46; - 45),(-46; -45),(-46; 45),(10; 3),(10; -3),(-10; -3),(-10; 3).

Задача 7.

Решите в целых числах х³ + 91 = у³.

Решение.

Перепишем данное уравнение в следующем виде у³ - х³ = 91, разложим левую часть на множители (у – х)(у² + ху + х²) = 91. Заметим, что у² + ху + х² = (у + х/2)² + ¾х² ³ 0 при у Î R.

Значит, решение данного уравнения сводится к решению следующих систем

1) ì у – х = 1

í

î у² + ху + х² = 91 решая данную систему, получаем (5; 6),(-6; -5);

2) ì у – х = 1

í

î у² + ху + х² = 1 система не имеет решения в целых числах;

3) ì у – х = 13

í

î у² + ху + х² = 7 решений в целых числах нет;

4) ì у – х = 7

í

î у² + ху + х² = 13 решая данную систему, получаем (-3; 4),(-4;3).

Ответ.

(5; 6), (-6; -5), (5; 6), (-6; -5).

Задача 8.

Решите в целых числах ху=х+у

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде ху – х – у + 1 = 1. Левую часть данного уравнения разложим на множители, применяя способ группировки. х(у – 1) – (у – 1) = 1; (у – 1)(х – 1) = 1. Следовательно,

ì у – 1 = 1

í

î х – 1 = 1

(2; 2)

ì у – 1 = -1

í

î х – 1 = -1

(0; 0)

Ответ.

(2; 2), (0; 0).

Задача 9.

Решите в натуральных числах 2х² + 5ху – 12у² = 28.




Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Историческая справка. | Большая теорема Ферма. | Известные диофантовы уравнения. | Решение. | COMPLETE THE PARAGRAPH WITH WORDS FROM THE BOX |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав