Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого перепишем уравнение в следующем виде: 2х² - 3ху + 8ху – 12у² = 28.
Применяя способ группировки, получим (2х – 3у)(х + 4у) = 28. Так как х, у – натуральные числа, то (х + 4у)ÎN и х + 4у ³ 4, тогда возможны следующие случаи:
1) ì 2х – 3у = 1
í
î х + 4у = 28
(8; 5);
2) ì 2х – 3у = 4
í
î х + 4у = 7
решений в натуральных числах нет;
3) ì 2х – 3у = 1
í
î х + 4у = 28
решений в натуральных числах нет.
Ответ.
(8; 5).
Задача 10.
Решите в целых числах 2ху = х² + 2у.
Решение.
Перепишем уравнение в следующем виде х² - 2ху + 2у = 0. Данное уравнение также решается методом разложения на множители, однако, с помощью формулы разности квадратов или способа группировки мы не сможем разложить на множители левую часть этого уравнения, поэтому целесообразнее использовать метод выделения полного квадрата.
(х² - 2ху + у²) - у² + 2у – 1 + 1 = 0, (х – у)² - (у – 1)² =-1.
(х – у – у + 1)(х – у + у – 1) = -1, (х – 2у + 1)(х – 1) = -1.
Решение этого уравнения сводится к решению следующих систем:
ì х – 2у + 1= -1 или ì х – 1= -1
í í
î х – 1= 1 î х – 2у + 1= 1
(2; 2) решений в нат. числах нет
Ответ.
(2; 2)
Итак, из рассмотренных выше уравнений можно сделать вывод, что при решении уравнений методом разложения на множители применяются: формулы сокращённого умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.
Теперь рассмотрим более сложные уравнения.
Задача 11.
Решите в натуральных числах х² - 4ху – 5у² = 1996.
Решение.
Перепишем уравнение в виде (х²-4ху+4у²)–9у²=1996, (х-4у)²–9у²=1996.
Разложим левую часть на множители (х – 5у)(х + у) = 1996.
1996=1 * 1996=2 * 998=4 * 499= -1 * (-1996)= -2 * (-998) = -4 * (-499).
Так как х Î N, yÎN, то (х + у) Î N, причём (х + у) > 1. Если (х + у)ÎN и (х + у)(х – 5у) = 1996, то (х – 5у) Î N. Тогда решение получившегося уравнения сводится к решению следующих систем
1) ì х - 5у = 1
í
î х + у = 1996
решений в натуральных числах нет
2) ì х - 5у = 499 или ì х - 5у = 4
í í
î х + у = 4 î х + у = 499
системы решений в натуральных числах не имеют
3) ì х - 5у = 2 или ì х - 5у = 988
í í
î х + у =998 î х + у =2
(832; 166) решения в натуральных числах нет
Ответ.
х = 832, у = 166. [3, c. 1 – 4]
Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной.
Задача 12.
Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0.
Решение.
Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоёмкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительн о х 5х²+(8у-2 )х+5у²+2у +2=0, х1,2 = (1 – 4у ±√(1 – 4у) ² - 5(5у² + 2у + 2))/5 = (1 – 4у ± √ -9(у + 1)²)/5.
Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у + 1) = 0, отсюда у = -1. Если у = -1, то х =1.
Ответ.
(1; -1)
Задача 13.
Решите в целых числах 3(х² + ху + у²)= х + 8у
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |