|
Точки максимума и минимума
Определение 1.1
Функция называется возрастающей на (a;b) если для всех и , то .
Определение 1.2
Функция называется убывающей на (a;b) если для всех и , то .
Определение 1.3
Функция называется убывающей в точке , если для всех достаточно близком , и если для всех достаточно близком ; .
Определение 1.4
Функция называется возрастающей в точке . Если для всех достаточно близком и для всех достаточно близком .
Теорема 1.1
Функция убывает на (a;b) тогда и только тогда, когда убывает для всех точек (a;b).
Теорема 1.2
Функция возрастает на (a;b) тогда и только тогда, когда возрастает для всех точек (a;b).
Теорема 1.3
Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью при переходе через .
Теорема 1.4
Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда график функции выходит из круга, ограниченного окружностью при переходе через .
Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.
Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью
теоремы 1.3 и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной.
Пусть М точка пересечения графика функции .
МN-касательная к графику в точке М.
Теорема 1.5
Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой, то есть (1.5)
Теорема 1.6
Функция убывает в точке тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7), где k1, k2 определяется по формуле (1.6).
Доказательство
k1- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k1= tg
k2- угловой коэффициент прямой MN, то есть k2= (1.6) По формуле угла между двумя прямыми: tg (1.7)
Теорема доказана.
Теорема 1.7
Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми
OM и MN острый, то есть (1.8)
Теорема 1.8
Функция возрастает в точке тогда и только тогда, когда имеет место неравенство tg (1.9)
Пример 1.1
Доказать, что функция - возрастающая.
Доказательство.
1. По формуле (1.6), имеем: k1=tg k2= =
2. По формуле (1.9), имеем: , то есть >0
3. Отсюда по теореме 1.8 функция - возрастающая
Пример доказан.
Пример 1.2
Доказать, что функция - убывающая.
Доказательство.
1. По формуле (1.6), имеем: k1=tg
k2= =
2.По формуле (1.7), имеем:
, то есть -1<0.
3. Отсюда, по теореме (1.5) функция - убывающая
Пример доказан.
Пример 1.3
Дана функция , где . Определите возрастающей или убывающей является функция .
Решение:
4. - точка максимума; - точка максимума.
5.Функция в декартовой системе координат имеет вид:
Ответ: 1. при - функция возрастает; 2.при - функция убывает.
С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.
1. Возьмем . Очевидно эта функция возрастает при всех . Поэтому для нее
выполняется неравенство .
Запишем неравенство:
Теорема 1.9
При всех допустимых значениях справедливо неравенство:
(1.10)
2. Функция - убывающая.
Запишем неравенство:
Теорема 1.10
При всех допустимых значениях справедливо неравенство:
(1.11)
3. Возьмем функцию ,очевидно, возрастающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство: . k1=tg k2= Запишем неравенство:
Теорема1.11
При всех допустимых значениях справедливо неравенство:
(1.12)
4. Возьмем функцию ,очевидно, убывающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство: tg .
Запишем неравенство:
Теорема 1.12
При всех допустимых значениях справедливо неравенство:
(1.13)
5. Возьмем функцию , функция возрастает на . Поэтому выполняется неравенство .
Запишем неравенство:
Теорема 1.13
При всех допустимых значениях справедливо неравенство:
(1.14)
6. Возьмем функцию , функция убывает на . Поэтому выполняется неравенство: tg
Запишем неравенство: .
Теорема 1.14
При всех допустимых значениях справедливо неравенство:
. (1.15)
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 13 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Сафиуллина Л.В. | | | Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба |