Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение нелинейных уравнений

Нелинейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида:

f (x) = 0 (1.1)

где f (x) – непрерывная, дифференцируемая функция, определенная на некотором бесконечном или конечном интервале a < x < b.

Корнем уравнения (1.1) называется такое значение x, равное ξ, которое обращает уравнение в тождество:

f (ξ) ≡ 0 (1.2)

Найти корни уравнения (1.1) точно удается лишь в частных случаях. Кроме того, часто уравнения содержат коэффициенты, известные лишь приблизительно, и следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому разработаны методы численного решения уравнения вида (1.1), которые позволяют отыскать приближенные значения корней этого уравнения.

При численном решении уравнения (нахождение корней) в общем случае необходимо проделать три процедуры:

а) установить количество корней и область значений аргумента, которой принадлежат эти корни;

б) выделить участки изолированности корней, то есть такие участки, внутри которых расположен только один корень;

в) сузить изолированный участок до заданных размеров, то есть найти корень с заданной точностью.

При пользовании большинством методов решения уравнений предполагается, что первые две процедуры выполнены, то есть известен участок изолированности корня. Графически корень нелинейного уравнения изображается точкой пересечения графика функции f (x) и оси 0 X (рис.1).

Условием существования корня уравнения (1.1) на промежутке [ a, b ] значений аргумента x для непрерывной функции f (x) является неравенство:

f (a) ∙ f (b) ≤ 0 (1.3)

Геометрически оно обозначает, что функция f (x) на концах промежутка [ a, b ] имеет значения разных знаков.

Если f (x) на промежутке [ a, b ] не только непрерывна, но еще и монотонна (то есть ее производная не изменяет знака), то тогда, при выполнении условия (1.3), наотрезке[ a, b ] содержится только один корень уравнения (1.1).

Рис. 1. Корень нелинейного уравнения.

1.2. Метод проб

Метод проб является одним из простейших численных методов поиска корней. Суть его состоит в том, что некоторый заданный отрезок значений аргумента [ a ₁, b ₁] разбивается на небольшое число подотрезков, и для каждого из них проверяется выполнение условия (1.3). Тот из под­отрезков, для которого условие (1.3) выполняется, содержит корень, поэтому его разбивают на более мелкие подотрезки. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет найден подотрезок достаточно малой длины (соизмеримый с заданной погрешностью), содержащий корень.

В качестве расширения метода можно предложить схему, в которой после нахождения корня аналогично производится проверка оставшейся части интервала [ a, b ]. Такая модификация метода хороша тем, что позволяет найти все корни на заданном промежутке.