Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Похідна за напрямом.

Мета: Розглянути похідну функції двох змінних за напрямом.

Область простору, кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини , називають скалярним полем.

Наприклад: поле температури даного тіла, поле атмосферного тиску.

Якщо функція не залежить від часу, то скалярне поле – стаціонарне, а скалярне поле, що міняється з часом – нестаціонарне.

Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат 0ХУ, то скалярне поле стане функцією цих координат: = . Якщо скалярна функція залежить від двох змінних = , то скалярне поле називають плоским. Якщо скалярне поле задане функцією = , то воно – просторове. Геометрично плоскі скалярні поля зображають за допомогою ліній рівня, а просторові – за допомогою поверхонь рівня.

Швидкість зміни поля в заданому напрямі визначає похідна за напрямом.

Нехай маємо скалярне поле = . Візьмемо в ньому точку М і проведемо з цієї точки вектор з напрямними косинусами і . На векторі на відстані від його початку візьмемо точку М_{1 .}

у

М₁

М

х

. Обчислимо приріст функції при переході від точки М до М₁ в напрямі вектора . Якщо існує границя відношення , то при цю границю називають похідною функції в точці М за напрямом вектора і позначають .

Повний приріст функції в точці М можна записати так:

, причому, , . Отже,

- похідна функції за напрямом показує швидкість зміни поля в деякій точці за вказаним вектором. Причому, абсолютна величина похідної відповідає значенню швидкості, а знак похідної визначає характер зміни функції в напрямі вектора (зростає чи спадає).

Для функції багатьох змінних при виведенні похідної функції в точці по напряму вказаного вектора всі міркування аналогічні.

Наприклад: Знайти похідну функції в точці А(1;2) за напрямом від точки А до точки В(2;4).

Розв’язання: Знаходимо вектор (1;2) і його напрямні косинуси , . Обчислимо значення частинних похідних у точці А: , . >0, отже, в даному напрямку ця функція зростає.

Відповідь: . Функція у вказаному напрямі зростає.

Запитання для самоконтролю:

- Що таке скалярне поле7

- Які поля стаціонарні?

- Записати формулу для складання та обчислення похідної по напряму.

Знати: таблицю похідних,означення похідної в точці за вказаним напрямом, напрямні косинуси вектора.

Вміти: складати похідну функції багатьох змінних за напрямом. Знаходити напрямні косинуси.

Література: [1]гл.6§3.

Завдання:

Знайти похідну функції в точці А(1;2) за напрямом від точки А до точки В(2;4)