Що таке градієнт?

1) Похідна в даній точці за напрямом вектора має найбільше значення, якщо напрям вектора збігається з напрямом градієнта,

Швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є max у напрямі gradu.

2) Похідна за напрямом вектора, перпендикулярного до grad, u дорівнює нулю.

3) Вектор – градієнт у кожній точці поля u (x; y; z) перпендикулярний до поверхні рівня, лише проходить через цю точку.

4) grad (U+V) = grad U + grad V

grad (CV) = C grad U

grad (UV) = U grad V + V grad U

grad

Наприклад: Знайти значення і напрям градієнта функції u=x²+y²+z²-2xyz в т. М_о (0; 1; 2).

Розв’язання.

;

;

.

.

, , , .

; ; ;

функція в даному напрямі зростає.

Запитання і завдання для самоконтролю:

- Що таке градієнт?

- Які властивості має градієнт?

- Як знайти градієнт?

Знати: Правила диференціювання функцій та таблицю похідних, форму градієнта функції та його геометричний і фізичний зміст.

Вміти: Складати градієнт функції багатьох змінних.

Література: [1]гл.6§3.

Завдання: Знайти значення і напрям градієнта функції U=U (x; y; z) в т. М_о(x_о; y_о; z_о).

0) U=x³+y²+z³+2xy 5) U=x⁴-2xzy³+z²

1) U=2x⁴+y³+xy 6) U=y³-3x²y²z²

2) U=x²+2xyz 7) U=y²+z²-3xy

3) U=x³-y²+3xz 8) U=3x²yz²+2x²

4) U=5x²-6y³-2z² 9) U=5xyz³-2xy³

в т. М_о(1; -2; 3).