|
Маємо поле U=U(x; y; z); ж М (х; у; z).В якому напрямі похідна має найбільше значення?
Вектор, координати якого є значення частинних похідних функції u(x; y; z); в т. М (х; у; z), називають градієнтом функції в цій точці і позначають grad u.
Теорема: Похідна функції u (x; y; z) в точці М (х; у; z) за напрямом вектора дорівнює проекції градієнта функції в цій точці на вектор , .
Властивості градієнта:
1) Похідна в даній точці за напрямом вектора має найбільше значення, якщо напрям вектора збігається з напрямом градієнта,
Швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є max у напрямі gradu.
2) Похідна за напрямом вектора, перпендикулярного до grad, u дорівнює нулю.
3) Вектор – градієнт у кожній точці поля u (x; y; z) перпендикулярний до поверхні рівня, лише проходить через цю точку.
4) grad (U+V) = grad U + grad V
grad (CV) = C grad U
grad (UV) = U grad V + V grad U
grad
Наприклад: Знайти значення і напрям градієнта функції u=x2+y2+z2-2xyz в т. Мо (0; 1; 2).
Розв’язання.
;
;
.
.
, , , .
; ; ;
функція в даному напрямі зростає.
Запитання і завдання для самоконтролю:
- Що таке градієнт?
- Які властивості має градієнт?
- Як знайти градієнт?
Знати: Правила диференціювання функцій та таблицю похідних, форму градієнта функції та його геометричний і фізичний зміст.
Вміти: Складати градієнт функції багатьох змінних.
Література: [1]гл.6§3.
Завдання: Знайти значення і напрям градієнта функції U=U (x; y; z) в т. Мо(xо; yо; zо).
0) U=x3+y2+z3+2xy 5) U=x4-2xzy3+z2
1) U=2x4+y3+xy 6) U=y3-3x2y2z2
2) U=x2+2xyz 7) U=y2+z2-3xy
3) U=x3-y2+3xz 8) U=3x2yz2+2x2
4) U=5x2-6y3-2z2 9) U=5xyz3-2xy3
в т. Мо(1; -2; 3).
Дата добавления: 2015-09-12; просмотров: 159 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |