Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Общие методические указания по выполнению контрольной работы по математике

По данному курсу студенты выполняют одну контрольную работу. Контрольная работа составлена в 10 вариантах. Номер варианта определяется по первой букве фамилии студента.

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующим:

1. Перед выполнением контрольного задания необходимо ознакомиться с программой дисциплины, изучить рекомендационный учебный материал.
2. Перед решением задачи следует привести её условие.
3. Решая задачи, необходимо показывать используемые формулы и ход вычисления, при необходимости сделать чертеж. Нельзя ограничиваться записью одних ответов.
4. Контрольную работу необходимо подписать и в конце работы указать библиографический список, использованных при выполнении контрольной работы литературных источников.
5. Если при выполнении задания возникнут затруднения, можно обратиться за консультацией на заочное отделение ГОУ СПО «Сыктывкарского торгово-экономического колледжа».
6. Контрольная работа должна быть отправлена на проверку в точно установленные сроки. Незачтённая работа перерабатывается и высылается на повторную проверку. Работа, выполненная не по своему варианту, не проверяется.

Образец выполнения

2. Вычислить предел

Решение:

При n ¥числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастает, следовательно, теорему о пределе частного двух последовательностей применить нельзя.

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень n, т.е. на n² ¹0 при

n ¥

Итак

3. Найти производную функцию у=х³ *sinх

Применим правило дифференцирования произведения (u*u)^I = u^' *u + u*u^'

В нашем случае u = х³ u=sinx

Получаем: у^' = (х³)^' * sinх + х³ * (sinx)^' = 3x²*sinx + x³*cosx

4. Найти производную функции у = cos (7x) в точке x₀=0

Функция у = cos 7x представляет собой сложную функцию, где внешняя функция у = cost, внутренняя функция t = 7x

Производная сложной функции у = f (4(x)) равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции.

у^' = f^' (4(x)) * 4^'(x)

Получаем:

y^' = (cos7x)^' * (7x)^' = (-sin7x)7 = - 7sin7x

Находим значение производной в точке х₀ = 0

y^'(0) = -7 * sin7 *0 = -7*0 = 0

Итак, y^'(0) = 0

5. Найти вторую производную функции y = x³ + 4x² + 3x + 5

Вторая производная функции есть производная от первой производной, т.е. y^'' = (y^' (x)) ^'

y^' = (x³ + 4x² – 3x + 5)^' = (3)^' + (4x2)^' – (3x)^' + 5^' =

3x² + 4*2x – 3 + 0 = 3x² + 8x - 3

y^'' = (3x² + 8x - 3)^' = (3x²) ^' + (8x) ^' – 3^' = 3*2x + 8*1 – 0 = 6x + 8

Итак, (x³ + 4x² – 3x + 5)^'' = 6x + 8

6. Таблица производных

f(x)	c	x	xn	cosx	sinx	tgx	ctgx	ax	lnx	logax
(x))			nxn-1	-sinx	cosx			axlna

1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х₀:

f(x) = sin x +2cosx, х₀ =

Решение:

Воспользуемся формулой к = (х₀).

Найдем производную функции f(x) = sin x +2cosx

= + = cosx-2sinx.

Найдем значение производной в точке х₀:

cos -2sin = 0-2*1 = -2.

Значит, угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х₀ равен -2.

Ответ: -2.

Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х²- 3х+1 в точке х₀ = 2.

Решение:

Воспользуемся формулой у = f(x₀) + (x₀)(x-x₀)

Для этого найдем значения функции у = х²- 3х+1 и значений производной в точке х₀ = 2. f(2) = 2² -3*2+1 = 4-6+1 = -1.

Найдем производную: = 2х-3

Найдем значение производной в точке 2: 2∙2-3 = 1

Получили: у = -1+1∙(х-2) = -1+х-2 = х-3

Ответ: у = х-3.

7. Исследовать на экстремумы, промежутки монотонности функции

y = x³-12x

Решение:

1. Найдем производную функции yⁱ = (x³ – 12x)ⁱ = 3x² - 12

2. Найдем критические точки. Для этого полученную производную прировняем к нулю.

Решаем уравнение:

3x² – 12 = 0

x² = 4

x = ± '

3. Определяем знаки производной на каждом промежутке

yi + - +

y -2 2 x

Применим следующие теоремы:

Если на некотором промежутке производная функции принимает положительные (отрицательные) значения, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

В нашем случае, производная принимает положительные значения на промежутках (-¥; -2] U [2;+ ¥)

Следовательно, функция возрастает при хє (-¥; -2]U[2;+ ¥)

Производная принимает отрицательные значения на промежутке [-2;2]. Следовательно функция убывает при хє[-2;2].

Применяем теорему:

Если в точке х₀ производная меняет знак с «+» на «-», то х₀ – является точкой максимума; если в м. х₀ производные меняет знак с «-» на «+», то т. х₀ – точка минимума.

В нашей задаче, в т. х₀ = -2 производная меняет знак с «+» на «-»

х_maх = -2.

В т. х0 = 2 производная меняет знак с «-» на «+» х_min = 2.

I вариант

1. Основные элементарные функции, их свойства и графики

2. Вычислить предел

3. Найти производную функции

4. Найти производную функции у = arcsin 3x в точке х₀ = 0

5. Найти вторую производную функции

6. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х₀ = - 2

7. Исследовать на экстремум функцию у = х³ – 3х

8. Найти точки перегиба линии у = х³ – 2х – 4

9. Вычислить

10. Найти

II вариант

1. Производная и её геометрический смысл.

2. Вычислить предел

3. Найти производную функции в точке х₀=2

4. Найти производную функции у = cos2x

5. Найти производную функции

6. Исследовать на экстремум функцию у =2х³ + 3х² - 1

7. Найти точку перегиба функции у = х³ – 1

8. Вычислить множество первообразных функции у = 3х²

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями f(x) = x² – 2x + 2, х = -1, х = 2, у = 0

10. Вычислить неопределенный интеграл

III вариант

1. Применение производной для исследования функций на экстремумы.

2. Вычислить предел

3. Найти производную функции в точке х = 0

4. Найти производную функции

5. Найти вторая производная функции

6. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе в точке х₀ = –2

7. Исследовать на экстремум функцию у =

8. Найти точку перегиба графика функции у = 3х³ + 8

9. Вычислить определенный интеграл

10. Вычислить неопределенный интеграл

IV вариант

1. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

2. Вычислить предел

3. Найти производную функции в точке х₀ =

4. Найти вторую производную функции

5. Найти тангенс угла наклона параболы в точке х₀ = 2

6. Исседовать на экстремумы функцию у = х³ - 2x²+ x+ 1

7. Найти точку перегиба графика функции у = 4х³ – 6x²

8. Найти множество первообразных функции у = х+ 4

9. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями f(x) = x⁴, х = -1, х = 1, у = 0

10. Вычислить интеграл методом подстановки

V вариант

1. Общая схема исследования функции.

2. Вычислить предел

3. Найти производную функции у = tg(4x-11)

4. Найти производную функции в точке х = 0

5. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х₀ = - 2

6. Найти точку перегиба графика функции у = 3х³ + 8

7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1;3]

8. Найти множество первообразных функции у = 5х⁴+ 4

9. Вычислить

10. Вычислить

VI вариант

1. Первообразная. Основные свойства первообразной.

2. Вычислить предел

3. Производная функции в точке х₀=2 равна:

4. Производная функции имеет вид:

5. Дифференциал функции у = 5x⁴ – 3x

6. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х₀ = 2

7. Исследовать на экстремумы функцию

8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на [-1;2]

9. Вычислить

10. Вычислить

VII вариант

1. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

2. Какое значение y соответствует числу х = , если функция задана формулой

3. Вычислить предел

4. Вычислить производную функции

5. Найти третью производную функции

6. Исследовать функцию на экстремумы

7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [-2;0]

8. Найти множество первообразных функции у = 2х+ cosx

9. Неопределенный интеграл равен:

10. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями f(x) = x², х = y

VIII вариант

1. Методы интегрирования.

2. Какое значение y соответствует числу х = 5, если функция задана формулой

3. Вычислить предел

4. Вычислить производную функции в точке х = 1

5. Найти тангенс угла наклона параболы в точке х₀ = 2

6. Исследовать функцию у = на экстремумы

7. Найти площадь фигуры, ограниченную графиком функции f(x) = 2 – х – х² и осью абсцисс

8. Вычислить

9. Вычислить

10. Вычислить

IX вариант

1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

2. Вычислить предел

3. Найти область определения функции

4. Вычислить производную функции у = x⁴sinx

5. Исследовать на монотонность функцию

6. Исследовать на экстремум функцию

7. Найти абсциссу точки перегиба графика функции у = 3х³ + 8

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями f(x) = x² – 2x + 2, х = -1, х = 2, у = 0

9. Вычислить

10. Вычислить

X вариант

1. Применение определенного интеграла к вычислению площадей и объемов.

2. Найти область определения функции

3. Вычислить предел

4. Вычислить производную

5. Найти вторую производную функции

6. Найти промежутки монотонности для функции

7. Исследовать на экстремум функцию

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0,

9. Вычислить

10. Вычислить приводится к виду:

Литература

1. Дадаян А.А. Математика: Учебник. – 2-е издание. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М. 2007. – 544с.

2. Дадаян А.А. Сборник задач по математике. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М. 2007. – 352с.

3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2004. –464с.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. – М.: Юнити, 2004. – 471с.

5. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. I часть. – М.: «Наука»