Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

П.4.2.5. Импликация x®y (читается «если x то y»).

Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией.

Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно

Таблица истинности этой функции имеет следующий вид:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно.

Примеры. 1) «Данный четырёхугольник – квадрат» (А) и «около данного четырёхугольника можно описать окружность» (В). Рассмотрим составное высказывание А→В, понимаемое как если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность. Есть три варианта, когда высказывание А→В истинно:

I) А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

II) А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

III) A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность;

IV) Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

2) Утверждение «если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3» истинно, т.е. из высказывания «каждое слагаемое делится на 3» следует высказывание «сумма делится на 3». Посмотрим, какие наборы значений истинности условия и заключения возможны, когда истинно все утверждение. Возьмем, например, в качестве слагаемых числа 6 и 9. В этом случае истинны и условие, и заключение, и все утверждение. Если же взять числа 4 и 5, то условие будет ложным, а заключение истинным. Для чисел 4 и 7 и условие и заключение ложны. (Если Вы сомневаетесь в истинности высказывания для последнего случая попробуйте произнести его в сослагательном наклонении: если бы числа 4 и 7 делились бы на 3, то и их сумма делилась бы на 3). Очевидно, что только один случай невозможен: мы не найдем таких двух слагаемых, чтобы каждое из них делилось на 3, а их сумма не делилась на 3, т.е. чтобы условие было истинным, а заключение ложным. Из истины не может следовать ложь, иначе логика теряет смысл.

п.4.2.6. Эквиваленция (или эквивалентность) x ~ y (x «y) (читается «x тогда и только тогда, когда y»).

Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истинным
тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.

Таблица истинности этой функции имеет следующий вид:

Пример. Рассмотрим возможные значении сложного высказывания, являющегося эквивалентностью: Учитель утверждает, что 5 в четверти ученику он поставит тогда и только тогда, когда ученик получит 5 на зачёте. 1) Ученик получил 5 на зачёте и 5 в четверти, т.е. учитель выполнил своё обещание, следовательно, высказывание является истинным. 2) Ученик не получил на зачёте 5, и учитель не поставил ему 5 в четверти, т.е. учитель своё обещание сдержал, высказывание является истинным. 3) Ученик не получил на зачёте 5, но учитель поставил ему 5 в четверти, т.е. учитель своё обещание не сдержал, высказывание является ложным. 4) Ученик получил на зачёте 5, но учитель не поставил ему 5 в четверти, т.е. учитель своё обещание не сдержал, высказывание является ложным.