Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Цены и доходы.

Рассмотрим fixed interest stocks. Два вопроса могут быть заданы:

а) Какова цена А, или Р за единицу номинала должна быть заплачена инвестором, чтобы гарантировать чистый доход в i за год?

б) При условии, что инвестор заплатил цену А, или Р за единицу номинала, какой чистый ежегодный доход он получит?

Чтобы ответить на вопрос (а) мы должны установить А равной текущей стоимости, по ежегодной ставке i, процентных и капитальных выплат, исключая налоги. Таким образом, получим (1):

Цена за единицу номинала – Р=A/N.

Чтобы ответить на вопрос (б), мы положим А в (1) равной цене покупки и разрешим относительно чистого дохода i. Если инвестор не платит налоги, то i называется валовым доходом. Если инвестор продает свои акции до выкупа или платит налоги, его реальный доход отличается от вышеупомянутого.

Доход на ценную бумагу иногда называется как выкупной доход, чтобы отличать его от текущего дохода, который определяется как D/P.

Пример 7.4.1 Долговое обязательство (т.е. акция с фиксированным процентом выпущенная коммерческой компанией) было выкуплено по номиналу 1.10.1937. Акция давала прибыль 6% ежегодно и выплачивалась дважды – 1.04 и 1.10.

а) Какова процентная цена должна быть уплачена за эту акцию 1.08.1915, чтобы гарантировать ежегодный доход 5% свободному от налогов инвестор?.

б) Каков ежегодный доход давала эта акция инвестору, который купил ее за 117% 1.08.1915?

Решение. (а) в примере имеем R=1, N=100, C=100, D=0,06 и р=2. Цена А находится из уравнения (1):

А=ν^1/6[3+6 +100 ν²²] at 5% = 116.19

(б) Решим уравнение:

117= ν^1/6[3+6 +100 ν²²] at i%

Интерполируя, получаем i≈4.94% ежегодно.

Замечание. Можно работать с периодом полгода, тогда

117= ν^1/3[3+3 +100 ν44] at i^’%

Следовательно, аппроксимируя i^’≈0.0244, значит эффективный ежегодный доход i≈((1.0244)²-1)*100%=4,94%

Во многих ситуациях верхние и нижние границы решений могут быть найдены достаточно просто.

Рассмотрим заем, который будет выкуплен через n лет по выкупной цене R за единицу номинала. Предположим, что заем приносит прибыль, выплачиваемую ежегодно в конце по купонной ставке D и инвестор, платящий подоходный налог по ставке t₁, купил заем по цене Р за единицу номинала. Что можно сказать о перепаде i – чистом ежегодном доходе инвестора?

В обмен на плату Р инвестор получает чистый процент каждый год D(1-t₁) и выкуп обеспечивает R. Его чистый доход – это процентная ставка, для которой

P=D(1-t₁) +Rνⁿ

Если R=P, то

i=D(1-t₁)/P

Если R>P, то имеется доход при выкупе и следовательно

i>D(1-t₁)/P

В этом случае доход при выкупе – (R-P). Если инвестор должен получать этот доход в равные интервалы в течение n лет, а не разовую сумму через n лет, он был бы в более предпочтительном положении. В этом случае его чистый доход был бы

[D(1-t₁)+(R-P)/n]/P

Таким образом:

D(1-t₁)/P < i < [D(1-t₁)+(R-P)/n]/P

Если R<P, то аналогично:

[D(1-t₁)+(R-P)/n]/P < i < D(1-t₁)/P

Эти границы нужны для решения задачи интерполяции.

Пример 7.4.2. Акция приносит 7.5% ежегодно и выплачивается в конце года и выкупается по номиналу через 20 лет. Предполагая, что прибыль не получается сразу после покупки, найти чистый ежегодный доход инвестора, платящего налог на прибыль 33.3%, который купил акции по цене 80%.

Решение. Заметим, что так как чистая ежегодная процентная выплата есть 5 на издержки 80 (т.е. 6.25%) и акция выкупается по 100, чистый ежегодный доход будет превышать 6.25%. Прибыль при выкупе – 20 на 100 номинала. Если эта прибыль была выплачена в равные ежегодные моменты (каждая размером в 1), издержки в 80 будут обеспечивать чистый доход каждый год в 6%, или 7.5%. Это было бы более выгодным вложением, чем реально доступное. Чистый доход, таким образом, меньше чем 7.5%. Мы имеем купонную ставку D=0.075, цена, заплаченная за единицу номинала, P=0.8, цена выкупа за единицу номинала R=1, ставка налога на доход – 1/3, срок погашения n=20. Уравнение стоимости:

P=D(1-t₁) +Rνⁿ at rate i% т.е.

0.8=0.005 +ν²⁰

Замечания выше указывают, что 0.0625<i<0.075. Когда i=0.065 – правая часть уравнения равна 0.8347, когда i=0.075 – 0.7881. Интерполируя, мы оцениваем i как 0.0687 или 6.87%

Приближенное решение о процентной ставке в (2), может быть найдено следующим образом. Пусть g=D/R, тогда g(1-t₁) – чистый ежегодный процент на единицу выкупной цены. Уравнение (2) может быть переписанным в виде:

P= g(1-t₁)R +Rνⁿ at rate i%

=R[g(1-t₁) +(1-i )]

Следовательно

g(1-t₁)-i-k/ =0 (3)

k=(P-R)/R (4)

Много способов можно предложить для поиска решения (3). Здесь предположим аппроксимацию основания на разложении Макларена по , т.е.

(5)

Игнорируя степень большую 1 в (5) и, подставляя разложение в (3) получим:

i= (6)

Эта формула достаточно точная для n и i небольших. Если оставить степень 2 в разложении, то получим квадратное уравнение относительно i:

i²+[1+ ]i-[g(1-t₁)-k/n]=0 (7)