Читайте также:
|
|
Ответ:
Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятностьPk,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: Pk,n=Ckn⋅pk⋅qn−k, где q=1−p.
Пусть проводится n независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие A наступает с вероятностью P(A)=p и, следовательно, не наступает с вероятностью P(A¯)=1−p=q.
Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности p и q остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате n независимых испытаний, событие A наступит ровно k раз?
Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие A наступает k раз в n независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из nпо k:
Cn(k)=n!k!(n−k)!.
В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие A либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна:
pk⋅qn−k.
Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно k раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны pk⋅qn−k, количество "удачных" комбинаций равно Cn(k), поэтому окончательно получаем:
Pk,n=Ckn⋅pk⋅qn−k=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k.
Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в силу полноты группы событий, будет справедливо:
∑k=0n(Pk,n)=1.
Пример 1. Монета подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трех раз.
Решение. Вероятность выпадения герба или решки считаем независимым событием с вероятностью . По аналогии с предыдущей задачей, искомая вероятность равна сумме трех следующих
Чтобы не искать столько слагаемых, из приведенных выше формул получим простую
-----------------------------
Пример 2. Три биатлониста независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого равна 0,9, для второго - 0,85, для третьего - 0,8. Найти вероятность того, что будут закрыты две мишени из трех.
Решение. Вероятности попадания для стрелков разные, поэтому применяем образующую функцию. Для нее входные данные примут значения
После подстановки и разложения в ряд получим
Искомая вероятность входит в расписание множителем при
Из этого примера также легко убедиться, что сумма всех множителей при степенях равна полной вероятности (единицы).
Литература.:[ 1] Бернулли Я., Часть четвертая сочинения Якова Бернулли "Ars conjectandi", СПБ, 1913; [2] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [3] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946.
Ю. В. Прохоров.
На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.
Ответ:
Используем классическое определение вероятности:
P=m/n, где n- число всех равновозможных элементарных исходов,
m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события A = (Тома стоят в порядке возвозрастания номера слева направо, но не обязательно рядом).
n=40⋅39⋅38=59280,
так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.
А число
m=C340=40!37!3!=40⋅39⋅381⋅2⋅3=9880.
Тогда искомая вероятность
P(A)=mn=988059280=16.
Ответ: 1/6.
Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 77 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |