Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Приведите формулу Бернулли и приведите примеры с ее использованием.

Читайте также:
  1. III. Первоначальное накопление капитала (особенности, примеры)
  2. Билет№69. Прямое доказательство, его специфика. Привести примеры.
  3. Билет№71. Косвенное доказательство (от противного). Привести примеры.
  4. Билет№72. Разделительное доказательство, привести примеры.
  5. Виртуальные методы. Функциональное назначение. Примеры применения.
  6. Влияние диверсификации на риск портфеля ценных бумаг . Привести примеры расчетов.
  7. Глобальные проблемы атмосферы. Приведите примеры
  8. Дайте определение учению чучхе и приведите примеры его реализации в КНДР.
  9. Ещё примеры
  10. Жизненный цикл плоских червей. Чередование хозяев и феномен смены хозяев. Промежуточные и основные хозяева. Понятие о биогельминтах, примеры.

Ответ:

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятностьPk,n того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: Pk,n=Ckn⋅pk⋅qn−k, где q=1−p.

Пусть проводится n независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие A наступает с вероятностью P(A)=p и, следовательно, не наступает с вероятностью P(A¯)=1−p=q.

Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности p и q остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате n независимых испытаний, событие A наступит ровно k раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие A наступает k раз в n независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из nпо k:

Cn(k)=n!k!(n−k)!.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие A либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна:

pk⋅qn−k.

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно k раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны pk⋅qn−k, количество "удачных" комбинаций равно Cn(k), поэтому окончательно получаем:

Pk,n=Ckn⋅pk⋅qn−k=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k.

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно так же заметить, что в силу полноты группы событий, будет справедливо:

∑k=0n(Pk,n)=1.

Пример 1. Монета подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трех раз.

Решение. Вероятность выпадения герба или решки считаем независимым событием с вероятностью . По аналогии с предыдущей задачей, искомая вероятность равна сумме трех следующих

Чтобы не искать столько слагаемых, из приведенных выше формул получим простую

-----------------------------

Пример 2. Три биатлониста независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого равна 0,9, для второго - 0,85, для третьего - 0,8. Найти вероятность того, что будут закрыты две мишени из трех.

Решение. Вероятности попадания для стрелков разные, поэтому применяем образующую функцию. Для нее входные данные примут значения

После подстановки и разложения в ряд получим

Искомая вероятность входит в расписание множителем при

Из этого примера также легко убедиться, что сумма всех множителей при степенях равна полной вероятности (единицы).

 

Литература.:[ 1] Бернулли Я., Часть четвертая сочинения Якова Бернулли "Ars conjectandi", СПБ, 1913; [2] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [3] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946.

Ю. В. Прохоров.

 

На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

 

Ответ:

Используем классическое определение вероятности:

P=m/n, где n- число всех равновозможных элементарных исходов,

m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события A = (Тома стоят в порядке возвозрастания номера слева направо, но не обязательно рядом).

n=40⋅39⋅38=59280,

так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.

А число

m=C340=40!37!3!=40⋅39⋅381⋅2⋅3=9880.


Тогда искомая вероятность

P(A)=mn=988059280=16.


Ответ: 1/6.

 




Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 77 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав