Студопедия
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Тангенциальная составляющая ускорения

Читайте также:
  1. Вера как метод ускорения перебора
  2. Инвестиционный спрос как структурная составляющая эффективного спроса.
  3. Информация, составляющая коммерческую или служебную тайну, должна быть защищена.
  4. ИСТОКИ УСКОРЕНИЯ РАЗВИТИЯ НАУКИ И РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
  5. Кинематика материальной точки. Система отсчета. Перемещение, траектория, путь. Скорость. Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.
  6. Коммунальное хозяйство как наиболее крупная составляющая городского хозяйства.
  7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения
  8. Методы умножения, аппаратные методы ускорения умножения, матричное умножение чисел без знака
  9. Методы ускорения процессов обмена между ОП и ВЗУ
  10. На границе раздела двух сред, по которой не течет поверхностный ток, касательная составляющая магнитного поля непрерывна.

т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

 

Вторая составляющая ускорения, равная

 

 


называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная состав­ляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к цен­тру кривизны траектории).

 

5.

 

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени D t = T соответствует = 2p, то = 2p/ T, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

 

 

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

 

 

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

 

6.

 

Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменя­ют это движение.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

 

Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

(6.7)

Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изме­нения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

 

Сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

 

закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m 1 и т 2) и обратно пропорци­ональная квадрату расстояния между ними (r 2):

 

 

На любое тело, расположенное вблизи поверхности Земли, действует сила тяготения F, под влиянием которой и в согласии со вторым законом Ньютона тело начнет двигать­ся с ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой т действует сила

называемая силой тяжести.

 

Первой космической (или круговой) скоростью v 1 называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом r, действует сила тяготения Земли, сооб­щающая ему нормальное ускорение v /r. По второму закону Ньютона,

Если спутник движется вблизи поверхности Земли, тогда r»R 0 (радиус Земли) и g=GM/R (см. (25.6)), поэтому у поверхности Земли

Второй космической (или параболической) скоростью v 2 называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии со­противления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совер­шаемой против сил тяготения:

откуда

 

7.

Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.

Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

где a — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; Fs проекция вектора F на вектор dr

 

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их вза­имным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

 

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными.

 

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

(11.3)

За время d t силаF совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

 

Силово́е по́ле в физике — это векторное поле в пространстве, в каждой точке которого на пробную частицудействует определённая по величине и направлению сила (вектор силы).

 

8.

 

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состоя­ния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

d (T +П) = 0,

откуда

(13.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохранение механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия со­храняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

 

 

9.

 

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

 

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n — число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = mi v i, a есть импульс р системы, можно написать

(9.2)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

(9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается непо­движным.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:


(4)

Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

 

10.

АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО – модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получаем

где Jz момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Работа при вращательном движении

  ,

 

 

11. (пар.140)

Гармонические колебания — колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).

Скорость точки Мх найдем как производную от координаты по времени:

Ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону, определим как производную от скорости:

 

 

12.

Гармонические колеба­ния величины s описываются уравнением типа

(140.1)

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, w 0круговая (циклическая) частота, j — начальная фаза колебания в мо­мент времени t= 0, (w 0 t + j) — фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от до –А.

 

13.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва­емые уравнением вида (140.6);

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону х=А соs (w0 t + j) с циклической частотой

(142.2)

и периодом

(142.3)

Формула (142.3) справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет­ся закон Гука (см. (21.3)), т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (141.5) и (142.2), равна

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела

При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 (см. (142.5)) и периодом

(142.7)

где L=J/ (ml) приведенная длина физического маятника.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

(142.8)

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив выражение (142.8) в формулу (1417), получим выражение для периода малых колебаний математического маятника

 

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармони­ческие колебания, равна

(141.3)

или

(141.4)

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колеба­ния под действием упругой силы F, равна

(141.5)

или

(141.6)

Сложив (141.3) и (141.5), получим формулу для полной энергии:

 

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося век­тора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точ­ки О, выбранной на оси х, под углом j, равным начальной фазе колебания, откладыва­ется вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 199). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w 0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s=A cos (w 0 t + j). Таким образом, гармоническое колебание мож­но представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амп­литуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w 0 вокруг этой точки.

В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода враща­ющегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел

(140.7)

где — мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (140.1) можно записать в комплексной форме:

(140.8)

Вещественная часть выражения (140.8)

представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (140.8) будем записывать в виде

14.

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Tax как векторы A1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью w0, то разность фаз (j 2 —j 1)между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

(144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза j соответственно задаются соотношениями

(144.2)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направле­нии и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j 2 —j 1) складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j 2 —j 1):

1) j 2 —j 1 = ±2 mp (т= 0, 1, 2,...), тогда A=A 1 +A 2, т. е. амплитуда результиру­ющего колебания А равнасумме амплитуд складываемых колебаний;

2) j 2 —j 1 = ±(2 m +1) p (т= 0, 1, 2,...), тогда A= | A 1 –A 2|, т. е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

 

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны w и w +D w, причем D w << w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе D w /2<< w, найдем

(144.3)

Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда А б, которого изменяется по следующему периодическому закону:

(144.4)

Частота изменения А б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

 

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой час­тоты w, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

(145.1)

где a — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении cos wt на х/А и sin wt на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осей произвольно:

(145.2)

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз a. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) a = mp (m =0, ±1, ±2,...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

(145.3)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой w и амплитудой , совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол j= arctg . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

2) a = (2 m+ 1) (m =0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид

(145.4)

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризо­ванными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. * Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной j).

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

 

Затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются.

Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Если A(t) и А (t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

(146.7)

— логарифмическим декрементом затухания; N e число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — по­стоянная для данной колебательной системы величина.

 

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

 

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

 

Резона́нс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частотывнешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы.

 

15.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым про­цессом (или волной).

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l (рис. 220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.

или, учитывая, что T = 1/ n, где n — частота колебаний,

 

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положитель­ного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

(154.2)

где А = const амплитуда волны, w — циклическая частота, j 0 начальная фаза вол­ны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [ w (t—x/v)+ j 0] фаза плоской волны.

 

Скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

 

16. (пар.154)

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова (1846—1915), решившего задачу о распространении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

 

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положитель­ного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

где А = const амплитуда волны, w — циклическая частота, j 0 начальная фаза вол­ны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [ w (t—x/v)+ j 0] фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

 

17.

При наложении в про­странстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих воли. Это явление называется интерференцией волн.

 

В точках, где

(156.1)

наблюдается интерференционный максимум: амплитуда результирующего колебания А=A 0 /r 1 + A 0 /r 2. В точках, где

(156.2)

наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего колебания А=|A 0 /r 1+ A 0 /r 2 |; m =0, 1, 2,..., называется соответственно порядком нтерференционного максимума или минимума.

Условия (156.1) в (156.2) сводятся к тому, что

Особым случаем интерференции являются стоячее волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих воли, распространяющихся навстречу друг другу с оди­наковыми частотами и амплитудами, а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией.

 

Сложив эти уравнения и учитывая, что k=2v/X (см. (154.3)), получим уравнение стоячей волны:

(157.2)

Из уравнения стоячей волны (157.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты w с амплитудой A ст =| 2 А cos(2 pх/l)|, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

(157.3)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2 А. В точках среды, где

(157.4)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А ст = 2 А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (A ст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (157.3) и (157.4) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

(157.5)

(157.6)

Из формул (157.5) и (157.6) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны l /2. Расстояние между сосед­ними пучностью и узлом стоячей волны равно l /4.

 

18. (пар. 155)

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

 

За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что t d w —x d k = const, получим

(155.1)

Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет.

19. (пар.42, 43)

Молекулярная физика и термодинамика — разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяют два качественно различных и взаимно допол­няющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинами­ческий. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.

 

Уравнению

(42.4)

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона — Менделеева.

 

Уравнение Клапейрона — Менделеева для массы т газа

(42.5)

где n =m/M количество вещества.

 

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:

Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде

где N A /V m = n — концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

(42.6)

следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорциональ­но концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта *:

 

 

20.

Применяя методы теории вероятностей. Максвелл нашел функцию f(v) — закон о распределеня молекул идеального газа по скоростям:

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоро­стям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Значение наиболее веро­ятной скорости можно найти продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу v, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(v):

Значения v= 0 и v =¥ соответствуют минимумам выражения (44.1), а значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость v B:

Средняя скорость молекулы < v > (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле

Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получаем

Подставив в (44.4) v= и d v= d e, получим

где d N (e) число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движе­ния, заключенную в интервале от e до e + d e.

Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теплового движения

Средняя кинетическая энергия < e > молекулы идеального газа

 

 

(45.5)

Выражение (45.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциаль­ного поля.

 

21. (50)

Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (моле­кул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния систе­мы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутрен­ней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состоя­ний и не зависит от пути перехода.

В § 1 было введено понятие числа степеней свободы: это число независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространст­ве.

В классической статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/ 2, а на каждую колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией потому, что на нее прихо­дится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциаль­ной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы

где i — сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колеба­тельных степеней свободы молекулы:

 

22.

Опыт показывает, что в соответствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода системы из первого состояния во второе изменение внутренней энергии D U=U 2U 1 будет одинаковым и равным разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершенной системой против внешних сил:

или

(51.1)

Уравнение (51.1) выражает первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая систе­ме, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил. Выражение (51.1) в дифференциальной форме будет иметь вид

или в более корректной форме

(51.2)

где dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, dA — элементар­ная работа, dQ — бесконечно малое количество теплоты. В этом выражении dU является полным дифференциалом, а dA и dQ таковыми не являются.

 

23. (52)

(51.1)

Уравнение (51.1) выражает первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая систе­ме, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил. Выражение (51.1) в дифференциальной форме будет иметь вид

или в более корректной форме

(51.2)

где dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, dA — элементар­ная работа, dQ — бесконечно малое количество теплоты. В этом выражении dU является полным дифференциалом, а dA и dQ таковыми не являются.

Удельная теплоемкость вещества — величина, равная количеству теплоты, необходи­мому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

Единила удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг × К)).

Молярная теплоемкость —величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

(53.1)

где n= m / Мколичество вещества.

Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль × К)).

Удельная теплоемкость с связана с молярной С m, соотношением

(53.2)

где М — молярная масса вещества.

 

(53.6)

Выражение (53.6) называется уравнением Майера; оно показывает, что Ср всегда больше СV на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагрева­нии газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, таккак постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа. Использовав (53.5), выражение (53.6) можно записать в виде

 

24. (55-56, 59)

(55.4)

Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.

Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное.

Если за цикл совершается положительная работа A= > 0 (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым (рис. 84, а), если за цикл совершается отрицательная работа A= < 0 (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется обратным.

(56.2)

Термодинамический процесс называется обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в окружающей среда и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым.

 

Прямой цикл используется в тепловых двигателях — периодически действующих двигателях, совершающих работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл используется в холодильных машинах — периодически действующих установках, в ко­торых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой.

 

Карно теоретически проанализировал обратимый наиболее экономичный цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Его называют циклом Карно. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным поршнем.

Цикл Карно изображен на рис. 87, где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 12 и 3—4, а адиабатические расширение и сжатие — кривы­ми 23 и 4—1. При изотермическом процессе U= const, поэтому, согласно (54.4), количество теплоты Q 1, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А 12, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

(59.1)

При адиабатическом расширении 23 теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения А 23 совершается за счет изменения внутренней энергии (см. (55.1) и (55.8)):

Количество теплоты Q 2, отданное газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия А 34:

(59.2)

Работа адиабатического сжатия

Работа, совершаемая в результате кругового процесса,

и, как можно показать, определяется площадью, заштрихованной на рис. 87. Термический к. п. д. цикла Карно, согласно (56.2),

Применив уравнение (55.5) для адиабат 23 и 4—1, получим

откуда

(59.3)

Подставляя (59.1) и (59.2) в формулу (56.2) и учитывая (59.3), получаем

(59.4)

т. е. для цикла Карно к. п. д. действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для его повышения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при T 1 = 400 К и T 2 = 300 К h = 0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холодильника понизить на 50 К, то h = 0,5. К. п. д. всякого реального теплового двигателя из-за трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно.

Обратный цикл Карно положен в основу действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть — получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.

 

25. (57)

Понятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физического содержания этого понятия рассматривают отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе, к температуре Т теплоотдающего тела, называемое приведенным количеством теплоты.

Приведенное количество теплоты, сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно dQ/T. Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю:

(57.1)

Из равенства нулю интеграла (57.1), взятого по замкнутому контуру, следует, что подынтегральное выражение dQ/T есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом,

(57.2)

Функция состояния, дифференциалом которой является dQ/T, называется энтропией и обозначается S.

Из формулы (57.1) следует, что для обратимых процессов изменение энтропии

(57.3)

В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей необратимый цикл, возрастает:

Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике: энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность W состояния системы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние (по определению, 1, т. е. термодинамическая вероятность не есть вероятность в математическом смысле (последняя £ 1!)).

 

Согласно Больцману (1872), энтропия системы и термодинамическая вероятность связаны между собой следующим образом:

(57.8)

где k — постоянная Больцмана.

Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса (см. § 57), второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.

 

 

27. (60)

При рассмотрении реальных газов — газов, свойства которых зависят от взаимо­действия молекул, надо учитывать силы межмолекулярного взаимодействия.

28.

Вводя эти поправки, получим уравнение Ван-дер-Ваальса для моля газа (уравнение состояния реальных газов):

(61.2)

Для произвольного количества вещества v газа (v=m/M) с учетом того, что V=vV m, уравнение Ван-дер-Ваальса примет вид

 

При высоких температурах (T > T к) изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением ее формы, оставаясь монотонно спадающей кри­вой. При некоторой температуре T к на изотерме имеется лишь одна точка перегиба К.

Эта изотерма называется критической, соответствующая ей температура T к — крити­ческой температурой; точка перегиба К называется критической точкой; в этой точке касательная к ней параллельна оси абсцисс. Соответствующие этой точке объем V к, и давление р к называются также критическими. Состояние с критическими парамет­рами (p к, V к, T к) называется критическим состоянием. При низких температурах (Т < T к) изотермы имеют волнообразный участок, сначала монотонно опускаясь вниз, затем монотонно поднимаясь вверх и снова монотонно опускаясь.

Для пояснения характера изотерм преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса (61.2) к виду

 

 




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 147 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Одиннадцатая пятилетка| Плюсы и минусы маркетинга

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2025 год. (1.003 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав