Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лекция 4.

Прямоугольная потенциальная яма (стационарные состояния)

Рассмотрим одномерное движение частицы с массой μ в поле с потенциальной энергией (рис.).

Здесь за начало отсчета энергии принято значение потенциальной энергии на бесконечности. Такое поле принято называть прямопрямоугольной потенциальной ямой. Одномерная прямоугольная потенциальная яма часто используется в качестве первого приближения для описания движения частицы в реальных полях с большим градиентом в отдельных малых областях пространства. Примером такой ситуации может служить движение электрона в металлической пластинке, поскольку внутри металла движение в первом приближении может считаться свободным, а на поверхности металла за счет конечной работы выхода электрона имеется скачок потенциала.

Хорошо видно, что общий характер движения классической частицы в прямоугольной яме существенно отличается от характера движения классического гармонического осциллятора. Движение классического осциллятора всегда финитно, поскольку при любой полной энергии Е конечны размеры той области, где Е больше потенциальной энергии. В то же время характер движения классической частицы в прямоугольной потенциальной яме (рис.) существенно зависит от величины полной энергии: при Е < 0 движение финитно, а при Е ^ 0 финитно. Говорят, что при Е< 0 частица находится в связанном состоянии с энергией связи е = —Е. Энергия связи представляет собой ту минимальную энергию, которую надо передать частице для того, чтобы она перешла в состояние инфинитного движения. Переходя к квантовой механике, сначала рассмотрим стационарное движение квантовой частицы в прямоугольной потенциальной яме, т.е. свойства стационарных состояний. Итак, наша задача состоит в нахождении решений одномерного стационарного уравнения Шредингера, которые удовлетворяют требованиям квадратичной интегрируемости, непрерывности и непрерывности производной на всей вещественной оси. Поскольку гамильтониан нашей задачи является четным, можно утверждать, что все стационарные состояния дискретного спектра обладают определенной четностью. Используем эту информацию для упрощения решения задачи. Ищем решения в интервале энергии —Vq < Е ^ 0. В пространственной области (I) стационарное уравнение Шредингера принимает вид

Введем обозначение

Тогда