Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Некоторые закономерности ДПФ, имеющие важное прикладное значение

Пусть некоторый непрерывный сигнал x(t) с ограниченным спектром (|ω| ≤ ω_в) длительностью Т_с дискретизирован с интервалом Т, отвечающим условию Т= .

Заметим, что полная ширина спектра заданного непрерывного сигнала, определяемая по спектральной функции , равна 2ω_в. Длительность Т_с и ширина спектра 2ω_в сигнала находятся в однозначном соответствии, вытекающим из свойств преобразования Фурье. Произведение активной ширины спектра сигнала на его длительность есть величина постоянная. Следовательно, если в процессе исследования длительность сигнала остается неизменной, то и активная ширина спектра сигнала сохраняет свое исходное значение.

При период спектральной функции дискретизированного сигнала , равный , совпадает с полной шириной спектра исходного сигнала = 2ω_в.

Как было показано, число временных выборок x(nT), отнесенных к длительности сигнала , совпадает с числом частотных выборок на период функции , т.е. на интервал . При все N выборок (отсчетов) приходятся на полную ширину спектра 2ω_в. Например, если на длительности сигнала выбрано 5 отсчетов, то таким же числом выборок будет определяться функция в интервале -ω_в ≤ ω ≤ ω_в или 0 ≤ ω ≤ 2ω_в в силу периодичности функции . Но такое число выборок на функцию , найденных с помощью ДПФ, может оказаться недостаточным, чтобы представить вид функции . На практике часто так и случается.

Чтобы исключить неопределенность в изображении функции , необходимо увеличить плотность частотных выборок, другими словами, уменьшить интервал между смежными выборками, а он равен , где N – число выборок, Т – интервал дискретизации, а произведение NT – длина последовательности во временной области.

Для уменьшения интервала дискретизации по частоте необходимо расширить (удлинить) временную последовательность относительно NT = Т_с путем включения в нее дополнительных (сверх N) так называемых нулевых отсчетов и образования последовательности из М отсчетов длиной MT > NT (рис. 2,а). В последовательности МТ в последних (М-N) точках выборки x(nT) принимаются равными нулю, т.е. x(nT), N ≤ n ≤ M. Величина МТ и будет теперь определять интервал дискретизации по частоте (рис. 2,б)

. (14)

Соответственно изменится и общее число частотных выборок, приходящихся на интервал и 2ω_в. Расчеты показывают, что для получения удовлетворительных результатов последовательность М должна превышать последовательность N в 5 раз и более раз.

Относительно выбора интервала дискретизации по времени Т и числа выборок N отметим следующее.

Как уже сказано, для сигнала с ограниченным спектром (|ω| ≤ ω_в) при период функции равен = 2ω_в. При конечной длительности сигнала число отсчетов по времени (частоте) составит Т_с / Т = N.

Рис. 2

Сокращение интервала дискретизации Т относительно величины (Т< ) приводит к росту числа временных выборок N (на длительность Т_с) и соответственно частотных выборок на период , который при этом также изменяется (увеличивается) в такое же число раз. В результате плотность частотных выборок останется прежней.

С уменьшением интервала дискретизации Т увеличивается разнос компонентов спектра дискретизированного сигнала, а значит уменьшаются их взаимные перекрытия и ошибки. Например, сокращение интервала дискретизации Т относительно в 5 и более раз делает практически отдельные компоненты функции неперекрывающимися, точнее говоря, мало перекрывающимися, так как спектр конечного по длительности сигнала неограничен. Число же частотных выборок, приходящихся на полную ширину спектра 2ω_в, определяемую одним компонентом функции , при этом не изменяется. Вот почему возникла необходимость в расширении временной последовательности для повышения плотности частотных выборок.

Дискретное преобразование Фурье играет важную роль в цифровой обработке, в анализе и синтезе дискретных и цифровых систем, в решении различных задач при обращении к ЭВМ. ДПФ составляет основу разработки эффективных вычислительных алгоритмов на ЭЦВМ. Создан целый ряд рациональных алгоритмов вычисления ДПФ (ОДПФ), объединенных одним общим понятием БПФ (быстрое преобразование Фурье). Так, если прямое вычисление (прямой метод) ДПФ требует количества вычислений, пропорционального N², то с использованием БПФ (наиболее рациональных его алгоритмов) количество вычислений приблизительно пропорционально NlogN. Преимущества БПФ при больших N очевидны.

Прямое (ДПФ) (формула 7) и обратное (ОДПФ) (формула 9) дискретные преобразования Фурье отличаются знаком комплексной экспоненты и множителем 1/N. Поэтому, если рассмотрен алгоритм, БПФ для вычисления прямого дискретного преобразования Фурье (ДПФ), то, вводя указанную замену, легко перейти к составлению БПФ для вычисления ОДПФ. Все соотношения, количественные оценки и выводы, полученные при анализе ДПФ, могут быть полностью перенесены на ОДПФ, позволяющее произвести обратный переход от спектра сигнала к его временному представлению.

При составлении программы БПФ для производства вычислений следует рассматривать такие случаи, когда N является степенью 2, т.е. N = 2^q. Это значит, что необходимо формировать последовательности 2^q. ДПФ с N= 2^q могут быть разложены на наиболее простые для вычислений двухточечные ДПФ. В этих случаях алгоритмы наиболее эффективны для вычислений и вместе с тем просты для реализации.

Литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 2000.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Радио и связь, 1986.

3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. – М.: Высшая школа, 1987.

4. Филончиков В.Д. Радиотехнические цепи и сигналы. Методические указания к домашним заданиям и курсовой работе. – М.:ВВИА, 1987.

Содержание