Канонічне рівняння еліптичного параболоїда (рис. 4)
. (3.1)
Рис. 4. Еліптичний параболоїд
Канонічне рівняння гіперболічного параболоїда (рис. 5)
(3.2)
Рис. 5. Гіперболічний параболоїд
Координатні площини 
та 
є площинами симетрії параболоїдів (3.1) та (3.2). Вісь 
називається віссю параболоїда, а початок координат – вершиною параболоїда. При 
еліптичний параболоїд (3.1) називається параболоїдом обертання. Його отримують обертанням параболи 
навколо осі .
Обидва параболоїди (еліптичний та гіперболічний) перерізаються по параболах площинами, що паралельні до координатних площин та . Площини, які паралельні до координатної площини 
, перерізають еліптичний параболоїд по еліпсах, а гіперболічний – по гіперболах.
4. Конус та циліндри
Канонічне рівняння конуса (рис. 6)
. (4.1)
Зауважимо, що кожна площина, яка проходить через вісь , перерізає однопорожнинний та двопорожнинний гіперболоїди по гіперболах, а конус така площина перерізає по двох прямих (твірних), що перетинаються в початку координат і є асимптотами цих гіпербол.
Рис. 6. Конус
Циліндри поділяються на еліптичний (рис. 7), параболічний (рис. 8) та гіперболічний (рис. 9) і задаються такими канонічними рівняннями:
еліптичний циліндр
; (4.2)
параболічний циліндр
; (4.3)
гіперболічний циліндр
. (4.4)
Рис. 7. Еліптичний циліндр Рис. 8. Параболічний циліндр Рис. 9. Гіперболічний циліндр
Циліндри еліптичний, гіперболічний та параболічний перерізаються координатною площиною 
відповідно по еліпсу, гіперболі, параболі. Вони утворюються прямими, що паралельні до осі , і проходять через вказані криві.
Поверхні другого порядку.
Означення 1. Поверхнями другого порядку називають такі поверхні, рівняння яких містять хоч би одну з координат х, у, z у другому степені
Наприклад, рівняння сфери з центром в т. С (х о, у о, z о) радіуса R містить координати 
в другому степені, отже сфера - поверхня другого порядку:
. (7)
Крім сфери, часто використовують конічні, еліптичні, циліндричні поверхні та поверхні обертання.
2.1. Циліндричні поверхні.
Побудова: в площині 
задамо лінію 
, яку назвемо направляючою. Через точку лінії проводимо пряму 
, паралельну до осі 
Така пряма, рухаючись вздовж лінії , описує поверхню, яку називають циліндричною. Пряму називають твірною.
1). Якщо твірна циліндричної поверхні паралельна осі Оz, а напрямна лінія 
лежить в площині хОу і задана рівняннями:
, (8)
тоді рівняння циліндричної поверхні буде:
. (9)
2). Рівняння F (х, z) = 0, що не містить змінної у, визначає в просторі циліндричну поверхню з твірною, що паралельна осі Оу.
3). Рівняння F (у, z) = 0 визначає в просторі циліндричну поверхню, твірна якої паралельна осі Ох.
Означення 1. Циліндричною наз. поверхня, утворена прямою (твірною), що рухається вздовж деякої лінії (направляючої) і залишається паралельною до початкового направлення.
Приклад 1. рівняння 
визначає в просторі еліптичну циліндричну поверхню, твірна якої паралельна осі Оz.
Приклад 2. Рівняння 
визначає в просторі гіперболічну циліндричну поверхню, твірна якої паралельна осі Ох.
2.2. Поверхні обертання.
. Параболоїд обертання.
В площині 
задамо лінію . Будемо обертати навколо осі Тоді лінія опише поверхню, яку називають поверхнею обертання.
Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 397 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |