Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Множества. Математический анализ

Читайте также:
  1. Множества
  2. Множества
  3. Множества
  4. Множества
  5. Множества
  6. МНОЖЕСТВА
  7. Множества вещественных чисел. Свойства операций над ними и геометрическая интерпретация.
  8. Множества и операции над ними.
  9. Множества и операции над ними.

Математический анализ

Числовые множества. Метод математической индукции.

 

Учебно-методическое пособие

по специальности 071900 «Информационные системы и технологии»

для студентов 1 курса очной формы обучения

 

Воронеж - 2006

 

Рекомендовано научно-методическим советом математического факультета ВГУ

 

Аннотация издания:

Пособие является второй из четырех частей учебно-методического пособия, созданного на основе опыта преподавания курса математического анализа на факультете компьютерных наук ВГУ. В него включен материал, относящийся к темам «Числовые множества» и «Метод математической индукции». Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы. В пособии приведены задания, предложенные студентам во время второй рубежной аттестации в 2004-2005 учебном году.

 

Авторы: к.ф-м.н, доцент Сергей Анатольевич Скляднев;

ассистент Светлана Вячеславовна Писарева

 

Научный редактор: д.ф-м.н, профессор Владимир Алексеевич Костин

 

Редактор: О.А. Тихомирова

 

Ó С.А. Скляднев, С.В. Писарева

 

Ó Воронежский государственный университет


Множества

СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Множества

Множества, как правило, обозначаются прописными буквами некоторого алфавита A, B, C, N, R,... Элементы же обычно обозначают строчными буквами a, p, e, x, t.... Знак " " обозначает принадлежность; запись "x M" читается "элемент х принадлежит множеству М". Если x не принадлежит множеству М, будем писать "x M", что читается "элемент x не принадлежит множеству М".

Буквами N, Z, Q, R обозначают, как правило, множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел соответственно.

Перечислим некоторые, наиболее употребляемые, способы задания множеств:

1. Множество может быть задано путем перечисления всех его элементов; например, множество всех цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; множество лиц, присутствующих сейчас в комнате {Коля, Володя, Ира, Лена, Оля}; множество всех трехзначных чисел в двоичной системе исчисления {100, 101, 110, 111} и т.п.

2. Множество М может быть задано путем формулирования некоторого характеристического свойства P(x), которым обладают элементы множества М (и только они одни): M = {x| P(x)} или M = { x: P(x)}.

Например, множество Е корней уравнения f(x)=0, где f(x) = x + 2x - 3x + 4 можно описать следующим образом: E = {x| f(x)=0}; множество А точек отрезка [0,1] можно описать так: А = {x: 0 x 1}.

3. Множество В может быть задано путем определения его элементов по уже известному множеству Т.

Например, считая заданным множество целых чисел Z = {.. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, определим множество степеней числа 2: {..... 2 , 2 , 2 , 0, 2, 2 , 2 ,.....}.

4. Различные операции над множествами, позволяющие из уже известных множеств получать новые (будут введены в дальнейшем).

Пустым называется множество, не содержащее никаких элементов. Оно обозначается символом Ø и содержится в любом множестве.

Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А содержится в множестве В (пишут А В) или, что то же, множество В содержит множество А (пишут В А). В этих случаях говорят, что множество А является подмножеством множества В.

Очевидно, что для любого множества А: А А. Принято также считать, по определению, что пустое множество является подмножеством каждого множества: Ø А. Для любого множества А само А и пустое множество называются его несобственными подмножествами. Если же А Ø, А В и существует элемент хєВ такой, что х не принадлежит А, то А называется собственным подмножеством множества В.

Знаки " , " называются «кванторы»; запись " x M" читается "существует элемент х из множества М"; запись " x M" читается "для любого элемента х из множества М".

1.2 Операции над множествами

Пусть дано множество B ={s}, называемое множеством индексов, и каждому индексу s сопоставлено множество As.

Объединением множеств А ) называется множество

А = { x| , х А }.

Очевидно, что для любого А: АUØ = А.

Пересечением множеств А ) называется множество

А = { x| , х А }.

Если множества С и D не имеют общих элементов, то С∩D=Ø. В этом случае, множества С и D называют непересекающимися.

Полезно отметить, что Ø∩Ø=Ø.

Разностью множеств А и В (А\В) называют множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат В. Ясно, что А\А=Ø.

На рисунке 1 серым цветом изображены последовательно множества A∩B, A B, А\В.

 

Рис.1 – Операции над множествами

 

Если В А, то А\В называется дополнением множества В до множества А.

В случае, когда рассматриваются различные подмножества множества А (и только они одни), дополнение множества В до множества А называются просто дополнением.

 

Рис.2 – Дополнение множества

1.3 Эквивалентные множества

Говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества A сопоставлен один и только один элемент множества B, так что различным элементам множества A сопоставлены различные элементы множества B и каждый элемент множества B оказывается сопоставленным некоторому элементу множества A.

Множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, называют эквивалентными.

Если множества A и B эквивалентны, то пишут A~B.

Если A~B1, B1ÌB, и B не эквивалентно А, то говорят, что множество A имеет меньшую мощность, чем множество B.

Множество A называется конечным, если существует такое число nÎ N, что

A~{1, 2, 3, …, n}.

В этом случае говорят, что множество A содержит n элементов или что множество A имеет мощность n.

Мощность пустого множества принимается равной нулю.

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Множество A называется счетным, если A~N.

Множество называется несчетным, если оно имеет мощность, большую, чем мощность множества N.

Теоремы Кантора.

1. Множество всех рациональных чисел счетно.

2. Множество всех действительных чисел несчетно.

Множество A называется множеством мощности континуума, если A~R.

 

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Даны множества A, B, C.

С помощью операций объединения и пересечения записать множество, состоящее из элементов, принадлежащих:1) всем трем множествам; 2) хотя бы одному множеству; 3) по крайней мере двум этим множествам.

Решение. 1) (A ∩ B) ∩C; 2) (A È B) È C; 3) (A ∩ B) È (C ∩ B) È (A ∩ C).

Пример 2. Найти АÈВ, А\В, В\А, АÇВ, если А={-4; -3; -2; -1; 0; 1}, В={-1; 0; 1; 2; 3}.

Решение. АÈВ={-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}; АÇВ={-1; 0; 1}; А\В={-4; -3; -2}; В\А ={2; 3}.

 

ЗАДАЧИ

Задача 1. Доказать, что включения А В и В А выполняются одновременно тогда и только тогда, когда А=В.

Задача 2. Докажите, что равенства: 1) А È В = В; 2) А ∩ В = А; верны тогда и только тогда, когда A Ì B.

Задача 3. Докажите, что (А\В)∩(В\А)=Ø.

Задача 4. Докажите, что любое непустое множество имеет не менее двух подмножеств.

Задача 5. Докажите, что если А В и В D, то A D.

Задача 6. Докажите, что если а А, то одноэлементное множество {а} А.

Задача 7. Докажите, что равенство A\ (В \ С) = (A \ B) È С верно тогда и только тогда, когда А É С.

Задача 8. Докажите равенство A\ (A \ B) = A Ç B.

Задача 9. Докажите, что АU(BUC)=(AUB)UC.

Задача 10. Докажите, что A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C).

Задача 11. Докажите, что A∩(BUA)=A.

Задача 12. Докажите, что AUA=A.

Задача 13. Докажите, что A∩A=A.

Задача 14. Докажите, что (A \ B) È (B \ A) = (A È B) \ (A Ç B).

Задача 15. Докажите, что (A \ B) \ C= A \ (B È C).

Задача 16. Докажите, что (A \ B) Ç C = (A Ç C) \ (B Ç C).

Задача 17. Докажите, что A È (B \ C) É (A È B) \ C.

Задача 18. Докажите, что (A È C) \ B Ì (A \ B) È C.

Задача 19. Докажите, что X\( A )= (X\A ).

Задача 20. Докажите, что X\( A )= (X\ A ).

Задача 21. Найти А È В, А \ В, В \ А, А Ç В, если А={-1;0;1;2;3;4;5}, В={2;3;4;5}.

Задача 22. Найти А È В, А \ В, В \ А, А Ç В, если А={-1;0;1;2;3}, В={-2;-1;0;1}.

 




Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 34 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав