Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Правила доказательства.

Найбільше розповсюдження в цифрових пристроях отримала двійкова СЧ, що використовує тільки дві цифри – 0 і 1.

Запис числа в ній представляється відповідною послідовністю двійкових цифр:

x ₍₂₎ = a_m a_m-1 ... a_i ... a₁ a₀ ,a_-1 a_-2 ... ₍₂₎,

де a_i Î {0, 1}.

Цей запис відповідає сумі ступенів числа 2, узятих із зазначеними в ній коефіцієнтами a_i:

x ₍₂₎ =a_m·10^m + a_m-1·10^m-1+...+ a_i·10ⁱ +...+ a₁·10¹+ a₀·10⁰ + a_-1·10^-1+ a_-2·10^-2 +... ₍₂₎= = a_m·2^m + a_m-1·2^m-1 +... + a_i·2ⁱ +... + a₁·2¹ + a₀·2⁰ + a_-1·2^-1 + a_-2·2^-2 +... ₍₁₀₎ .

Приклад.

1011,101₍₂₎ = 1·10³ + 0·10² + 1·10¹ + 1·10⁰ + 1·10^-1 + 0·10^-2 + 1·10^-3 ₍₂₎ =
= 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1 + 0·2^-2 + 1·2^-3 ₍₁₀₎ =
= 8 + 0 + 1 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 ₍₁₀₎ = 11,625₍₁₀₎ .

Переведення дробових чисел з виконанням арифметичних операцій в старій СЧ.

Нехай заданий правильний дріб y _(s) = 0,s_-1 s_-2 … s_{1-q (s)} , представлений в s -системі. Потрібно перевести його в нову h -систему.

Припустимо, дріб вже перекладений в нову СЧ. Тоді шуканий запис цього дробу в h -системі, відповідно до загального визначення систем числення, у розгорнутій формі повинний виглядати наступним чином:

z _(h) = s _-1·h ^-1 + s _-2·h ^-2 + … + s _-q·h ^-q + ….

Множачи ліву й праву частини останнього вираження на h, отримаємо:

z·h = s _-1 + s _-2·h ^-1 + … + s _-q·h ^–q+1 + … = s _-1 + z₁ .

Тут z₁ = s _-2·h ^-1 + … + s _-q·h ^–q+1 + … – дробова частина добутку;

s _-1 – ціла частина добутку, що є старшою цифрою в представленні дробі z у новій h -системі (але сама ця ціла частина поки записана в s -системі, і ії потрібно додатково автономно перевести в h -систему).

Якщо тепер помножити на h правильний дріб z₁, то ціла частина цього нового добутку дає наступну цифру s _-2 у представленні дробі в новій h -системі, що поки сама записана в старій s -системі.

Й так далі.

Таким чином, перетворення правильних дробів може здійснюватися по наступному правилу:

Для переведення правильного дробу із старої s СЧ в нову h СЧ необхідно множити початковий дріб та дробові частини отриманих добутків на основу нової h -системи, подану в старій s -системі. Цілі частини отриманих добутків, в порядку їх одержання, дають послідовність цифр дробу в новій h -системі. При цьому цілі частини добутків одержуються в s СЧ і їх необхідно додатково перевести в цифри нової h СЧ.

Алгоритм перетворення дробових чисел, приведений нижче, також як і розглянутий раніше алгоритм переведення цілих чисел, призначений для роботи як в новій, так і в старій СЧ залежно від того, якою є в умові задачі десяткова СЧ – новою чи старою. Розглянемо словесну формулювання алгоритму переведення дробових чисел із довільної СЧ в десяткову та навпаки, в основу якого покладені загальні методи перетворення чисел:

1. Взяти i =1; sⁱ = s¹ = s; A = 0; NД _si = NД _s; j = n.

2. Обчислити NД_si·h.

3. Виділити цілу NЦ _si+1 і дробову NД _si+1 частини результату множення.

4. Обчислити вклад поточного розряду NЦ _si+1/sⁱ.

5. Обчислити поточну суму A_i+1= A_i + NЦ _si+1 / sⁱ.

6. Обчислити вагу наступного розряду sⁱ = sⁱ · s.

7. Якщо A _i+1 = 0, то перейти до кроку 10 (інакше до кроку 8).

8. Прийняти j = j-1.

9. Якщо j = 0, то перейти до кроку 11 (інакше до кроку 10).

10. Прийняти i = i +1 та перейти до кроку 2.

11. Прийняти NД _h = a _i+1 та закінчити розв’язок завдання.

Тут:

s і h – основи відповідно старої та нової СЧ, одна з яких є десятковою;

NД _s і NД _h – відповідно вихідна і результуюча дроби в старій та новій СЧ;

n – необхідна кількість значущих (ненульових) розрядів результату.

На відміну від попереднього, в даному алгоритмі використати признак рівності нулю дробової частини добутку NД _si+1, як умову виходу із циклу, неможливо. Справа в тому, що початковий кінцевий дріб в новій СЧ може бути еквівалентним нескінченому результуючому дробу. А це означає, що дробова частина добутку NД _si+1 навіть при якій завгодно великій кількості циклів ніколи не стане рівній нулю.

Раніше зазначалося, що переведення дробів звичайно виконується наближеним одержанням необхідної кількості розрядів результату. Точність переведення на ПК визначається його форматом даних (розрядною сіткою) і величинами основ чисел, що перетворюються. При цьому кількість значущих цифр результату не повинна залежати (зменшуватися) від числа його початкових нульових розрядів після коми, інакше точність переведення буде зменшуватись.

Оскільки будь-яка цифра результату – значуща або незначуща – в даному алгоритмі обробляється однаково (однократним обчисленням тіла циклу), то загальне число його повторень визначається кількістю (в загальному випадку заздалегідь невідомою) початкових нулів результуючого дробу та необхідним числом значущих розрядів результату, що задається заздалегідь. Звідси випливає, що для перетворення дробів необхідно використовувати обидва способи організації циклічних алгоритмів: ітераційний – для обробки початкових нульових розрядів та детермінований – для обробки заданої кількості значущих розрядів.

У вигляді логічної умови, яка визначає число повторів циклу з ітераційною організацією, використовуються величина накопиченої суми результату A_i+1, нульове значення якої є ознакою продовження, а ненульове – ознакою виходу з ітераційного циклу (кроки 7, 10 алгоритму).

Детермінований алгоритм організується за допомогою спеціального лічильника, в який заздалегідь заноситься необхідне число повторень циклу. Вміст цього лічильника декрементується після кожного обчислення тіла циклу аж до нуля, при досягненні якого здійснюється вихід із циклу (кроки 8, 9, 10). Принципово n може бути будь-яким великим цілим числом, однак розряди результату, отримані за межами довжини мантиси розрядної сітки, будуть загублені, хоч на їх обчислення і буде затрачено машинного часу.

Залежно від того, якою в перетвореннях виступає десяткова СЧ – новою чи старою, змінюється смислове значення кроків 2, 4, 5, 6 алгоритму.

В перетвореннях, в яких десяткова СЧ виступає старою, на 2-му кроці алгоритму визначається цифра чергового розряду результату в новій СЧ як ціла частина NЦ_si+1 добутку. Кроки 4 та 5 призначені для запису одержаної цифри по визначеному знакомісцю в ряду цифр, що зображають результуюче число. На 6-му кроці підготовлюються дані для визначення знакомісця цифри наступного розряду результату.

У випадку, коли десяткова СЧ виступає в перетвореннях як нова, на 2-му кроці алгоритму виконується зсув коми праворуч на один розряд з метою наступного виділення чергового лівого розряду початкового дробу. На 4-му кроці визначається вклад даного розряду в кінцевий результат, окреме значення якого обчислюється на 5-му кроці. На 6-му кроці алгоритму підготовлюється вага наступного розряду початкового дробу для використання його в повторному циклі.

Блок-схема алгоритму переведення дробових чисел показана на рис. 2.1. Підготовчі блоки 1...4 відповідають 1-му кроку, а логічні блоки 10, 11 – відповідно крокам 7, 10 або 8, 9, 10 в словесному алгоритму.

Правила доказательства.

Правила тезиса:

• Тезис должен быть сформулирован точно и ясно, не должен допускать многозначности. Ошибки: Кто слишком много доказывает, тот не доказывает ничего.
• На всём протяжении доказательства тезис должен быть одним и тем же. Ошибка: подмена тезиса.

Правило аргумента:

• Аргументы должны быть истинными суждениями, не противоречащим друг другу. Ошибка: умышленное заблуждение – в качестве аргументов используются заведомо ложные факты. Превосходящее основание – в качестве аргументов используются такие факты, которые сами нуждаются в доказательстве.
• Аргументы должны быть достаточными для основания тезиса. Ошибка: мнимое следование.
• Аргументы должны быть доказаны независимо от тезиса. Ошибка: круг в доказательстве – тезис доказывается аргументом, а аргумент доказывается этим же тезисом.
• Правило демонстрации, то есть при связывании тезиса с аргументами, должны быть соблюдены правила того умозаключения, по схеме которого строится доказательство. Ошибки: смешение относительного смысла высказывания с безотносительным – высказывание истинное в конкретных условиях, рассматривается как истинное для всех других условий. Смешение собирательного смысла понятия с разделительным.

Непозволенные способы защиты и опровержения.

1. Доказательства к человеку, то есть суть в том, что вместо опровержения тезиса и аргументов, дают отрицательную оценку оппоненту, его личности.

2. Апелляция к публике.

3. Брань и мат место аргументов.

4. Аргументы силы – вместо логических доводов, угрозы физической расправы.

5. Обезоруживание – когда пытаются нейтрализовать основной аргумент оппонента, сводя его к чепухе.

6. Троянский конь – переход на сторону противника, чтобы довести до абсурда его тезис.

Существуют также несколько видов аргументации, это дедуктивный способ - предполагает соблюдение ряда методологических и логических требований, таких как точное определение или описание в большей посылке, выполняющей роль довода; исходного теоретического или эмпирического положения, точное и достоверное описание конкретного события, которое дано в меньшей посылке; соблюдение структурных правил этой формы вывода; индуктивный способ - применяется, как правило, в тех случаях, когда в качестве доводов используются фактические данные; и аргументация в форме аналогии - применяется в случае употребления единичных событий и явлений.

Виды аргументов.

В качестве аргументов могут выступать различные по своему содержанию суждения:

1. Теоретические обобщения не только служат целям объяснения известных или предсказание новых явлений, но выполняют также роль доводов в аргументации.

2. Роль аргументов выполняют утверждения о фактах. Фактами или фактическими данными называют единичные события или явления, для которых характерны определенное время, место и конкретные условия их возникновения и существования.

3. Аргументами могут быть аксиомы, т.е. очевидные и потому не доказываемые

в данной области положения.

4. Роль аргументов могут выполнять определения основных понятий конкретной области знаний.

ПРАВИЛА И ОШИБКИ ПО ОТНОШЕНИЮ К АРГУМЕНТАМ.

Логическая состоятельность и доказательное значение рассуждения во многом зависит от качества исходного фактического и теоретического материала - убеждающей силы аргументов.

Процесс аргументации всегда предполагает предварительный анализ имеющегося фактического и теоретического материала, статистических обобщений, свидетельств очевидцев, научных данных и т.п. Слабые и сомнительные аргументы отбрасываются, наиболее веские синтезируются в стройную и непротиворечивую систему доводов.

Предварительная работа проводится при этом с учетом особой стратегии и тактики аргументации. Под тактикойимеется в виду поиск и отбор таких аргументов, которые окажутся наиболее убедительными для данной аудитории, учитывая возрастные, профессиональные, культурно-образовательные и другие ее особенности. Выступления на одну и ту же тему перед составом суда, дипломатами, школьниками, работниками театра или молодыми учеными будут различаться не только стилем, глубиной содержания, психологическим подходом, но также типом и характером аргументации, в частности особым подбором наиболее действенных, т.е. близких, понятных и убедительных аргументов.

Решение стратегической задачи аргументации определяются выполнением следующих требований, или правил, в отношении доводов.

Требование достоверности, т.е. истинности и доказанности аргументов определяется тем, что они выступают логическими основаниями, опираясь на которые выводят тезис. Сколь бы вероятным ни были доводы, из них может следовать лишь правдоподобный, но не достоверный тезис. Сложение вероятностей в посылках приводит лишь к увеличению степени вероятности заключения, но не гарантирует получения достоверного результата.

Доводы выполняют роль фундамента, на котором строится аргументация. Если в фундамент рассуждения нетребовательно кладут непроверенные или сомнительные факты, то тем самым ставится под угрозу весь ход аргументации. Опытному критику достаточно поставить под сомнения один или несколько доводов, как рушится вся система рассуждений и тезис выступающего выглядит как произвольный и декларативный. Об убедительности такого рассуждения не может быть и речи.

Нарушение указанного логического правила приводит к двум ошибкам. Одна из них - принятие за истину ложного аргумента - называется «основное заблуждение » (error fundamentalis).

Причины такой ошибки - использование в качестве аргумента несуществующего факта, ссылка на событие, которое в действительности не имело места, указание на несуществующих очевидцев и т. п. Такое заблуждение называется основным потому, что подрывает главнейший принцип доказательства - убедить в правильности такого тезиса, который покоится не на любом, а лишь на твердом фундаменте из истинных положений.

Особо опасно «основное заблуждение» в судебно-следственной деятельности, где ложные показания заинтересованных лиц - свидетелей или обвиняемого, - неправильное проведенное опознание личности, вещей или трупа приводят в отдельных случаях к судебным ошибкам - наказанию невинного либо к оправданию действительного преступника.

Другая ошибка - «предвосхищение основания» (petitio principii). Она заключается в том, что в качестве аргументов используются недоказанные, как правило, произвольно взятые положения: ссылаются на слухи, на ходячие мнения или высказанные кем-то предположения и выдают их за аргументы, якобы обосновывающие основной тезис. В действительности же доброкачественность таких доводов лишь предвосхищается, но не устанавливается с несомненностью.

Требования автономного обоснования аргументов означает поскольку доводы должны быть истинными, то, прежде чем обосновывать тезис, следует проверить сами аргументы. При этом для доводов изыскивают основания, не обращаясь к тезису. Иначе может случиться, что недоказанным тезисом обосновываются недоказанные аргументы. Эта ошибка называется «круг в демонстрации» (circulus in demonstrando).

Требования непротиворечивости аргументов вытекает из логической идеи, согласно которой из противоречия формально следует все, что угодно - и тезис пропонента, и антитезис оппонента. Содержательно же из противоречивых оснований с необходимостью не вытекает ни одно положение.

В судебно-следственной деятельности нарушение этого требования может выражаться в том, что при неквалифицированном подходе к обоснованию решения по гражданскому делу или обвинительного приговора по уголовному делу ссылаются на противоречащие друг другу фактические обстоятельства: противоречивые показания свидетелей и обвиняемых, не совпадающие с фактами заключения экспертов и т.д.

Требования достаточности аргументов связано с логической мерой - в своей совокупности доводы должны быть такими, чтобы из них по правилам логики в необходимости следовал доказываемый тезис.

Правило достаточности аргументов проявляется по-разному, в зависимости от используемых в процессе обоснования различных видов умозаключений. Так, недостаточность аргументации при обращении к аналогии проявляется в малом числе сходных для сравниваемых явлений признаков. Уподобление будет малообоснованным, если оно опирается на 2 -3 изолированных сходства. Неубедительным будет и индуктивное обобщение, если исследованные случаи не отражают особенностей образца.

Отклонения от требований достаточности аргументов неуместны ни в ту, ни в другую сторону. Доказательство несостоятельно, когда отдельными фактами пытаются обосновать широкий тезис - обобщение в этом случае будет «слишком или поспешным». Причина появления таких неубедительных обобщений объясняется, как правило, недостаточным анализом фактического материала с целью отбора из множества фактов лишь достоверно установленных, несомненных и наиболее убедительно подтверждающих тезис.

Не всегда дает положительные результаты принцип «чем больше аргументов, тем лучше». Трудно признать убедительным рассуждение, когда, стремясь во что бы ни то ни стало доказать тезис, увеличивают число аргументов, полагая, что тем самым надежнее подтверждают его. Действуя таким образом, легко совершать логическую ошибку «чрезмерного доказательства», когда незаметно для себя берут явно противоречащие друг другу доводы. Аргументация в таком случае будет всегда нелогичной или чрезмерной, по принципу «кто много доказывает, тот ничего не доказывает».

При поспешном, не всегда продуманном анализе фактического материала встречается использование и такого аргумента, который не только не подтверждает, а наоборот, противоречит тезису выступающего. В этом случае говорят, что пропонент использовал «самоубийственный довод».

Наилучшим принципом убедительного рассуждения является правило: лучше меньше, да лучше, т.е. все относящиеся к обсуждаемому тезису факты и положения должны быть тщательно взвешены и отобраны, чтобы получить надежную и убедительную систему аргументов.

Достаточно аргументов следует расценивать не в смысле их количества, а с учетом их весомости. При этом отдельные, изолированные аргументы, как правило, обладают малым весом, ибо допускают различное истолкование. Иное дело, если используется ряд доводов, которые взаимосвязаны и подкрепляют друг друга. Вес такой системы аргументов будет выражаться не их суммой, а произведением составляющих. Не случайно говорят, что изолированный факт весит, как перышко, а несколько связанных фактов давят с тяжестью жернова.

Таким образом, мы показали важность правильной аргументации, которая основывается, прежде всего, не на количестве фактов, а на их убедительности, яркости, впечатляющей логике.