Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.

Читайте также:
  1. А6. (стр.2) ФИГУРЫ РЕЧИ
  2. Анализ объемов производства и реализации продукции. Анализ объема, ассортимента и качества продукции. Анализ ритмичности производства.
  3. Анализ объемов производства продукции.
  4. Анализ связи парной корреляции. Вычисление параметров уровня регрессии.
  5. Ансамбль пятнадцати. Новая политическая конфигурация мира
  6. Базовая конфигурация персонального компьютера
  7. БЛОК 4. ИССЛЕДОВАНИЕ СФОРМИРОВАННОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
  8. Взаимная индукция. Взаимная индуктивность. Вычисление взаимной индуктивности двух соленоидов.
  9. Взаимосвязь объемов, продолжительности и стоимости работ
  10. Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях

Двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, а сверху- поверхностью z=f(x,y)

Если подынтегральнгая функция f(х,y) тождественно равна единице в области D, то значение двойного интеграла совпадает с площадью области интегрирования

 

77. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Док – во. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем Sn=Sn-1+an, или an=Sn-Sn-1. При n→∞ обе части суммы Sn иSn-1 стремятся к пределу S, поэтому из равенства an=Sn-Sn-1 следует, что limn→∞an= limn→∞Sn- limn→∞Sn-1=S-S=0. Подчеркиваем еще раз, что мы установили, только необходимое условие сходимости ряда, т.е. условие при на рушении которого ряд не сможет сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда.

 

78. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного рядана интервале сходимости. Пусть ф-ция разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд f(x)=a0+ a1x+ a2x2+..+ anxn+..(1)Рассмотрим степенной ряд a1+ 2a2x+..+nanxn-1+..(2) полученный почленным дифференцированием ряда:

1)ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1)

2) на всем интервале (-R,R) ф-цияf(x) имеет производную f’(x), которая разлагается в степенной ряд (2)

Следствие: ф-цияf(x), которая разлагается в степенной ряд (1)на интервале (-R,R), бесконечно диф на этом интервале. Разложение в степенной ряд для любой производной получается почленным дифференцированием ряда (1). При этом радиусы сходимости рядов раны радиусу сходимости ряда.

Если ф-цияf(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R,R), то она интегрируема на этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда: ⌠x2x1f(x)dx=⌠x2x1a0+ a1x+ a2x2+..+ anxn+.dx=⌠x2x1 a0+⌠x2x1 a2 x2dx+…⌠x2x1 anxndx+..

 

101. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме. Если в некоторой окрестности точки (х00) ф-цияf(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’y, то существует такая окрестность точки (х00), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x0)=y0имеет решение, притом единственное.

 

107. Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка). 1 случай: y=C1eλx+C2еλx2 случай: у=еах1cosβx+C2sinβx) 3 случай: y=eλx(C1+C2x)

 

108. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. y=xleax(Pm(x)cosbx+Qm(x)sinbx)

 

79. Определение первообразной для ф-ции на промежутке . Ф-цияy=F(x) называется первообразной для ф-цииy=f(x) на промежутке X, если для любого хϵXвыполняется равенство: F’(x)=f(x)   80. Определение неопределенного интеграла.Если F(x)-первообразная для f(x), то выражение F(x)+C, где С-произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от ф-цииf(x).(⌠f(x)dx=F(x)+C) Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции ограниченной линиями x=a,x=b при b>a, осью Ох и графиком неотрицательной непрерывной ф-цииy=f(x) 81. Свойства определенного интеграла 1. Интеграл от суммы двух функций f1(x) и f2(x) по отрезку [a;b] равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку 2. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла 3. Интеграл от неотрицательной функции на отрезке [a;b] – неотрицательное число, то есть если 82. Свойства неопределенного интеграла Производная неопределенного интеграла равна подфнтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. 1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная 2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака неопределенного интеграла 3. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых     83. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.Если частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) определены в окрестности точки (x0,y0), то ф-цияz=f(x,y) дифференцируема в этой точке   84. Производная по направлению.Производной ф-цииf(x,y) в точке (x0,y0)по направлению е(стрелка сверху)называется предел: (δf(x0,y0))/δе↑=lim ((f(x0 +tex, y0+tey)-f(x0,y0))/t) где t→0+0   85. Градиент. Свойства градиентаГрадиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным, взятым в точке M(x,y).Grad f(M)=(f’x(M),f’y(M)). Градиент указывает направление наискорейшего роста ф-ции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.│Gradf(M)│=δf(M)/δeПоложимѱ(t)=f(p+tv), p,vϵRn, тогдаѱ’(0)=(gradf(p),v) Градиент ф-цииgradf(M) является вектором нормали касательной к линии уровня в точке М. Градиент ф-цииf(x,y,z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня ф-ции в точке М   86. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.   87. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.Пусть ф-цияnпеременных f(x↑) имеет в окрестности своей стационарной точки а↑ непрерывные частные производные второго порядка, тогда: если квадр форма d2faпол определена, то а↑- точка лок мин f (для пол наоборот). Пусть ф-цияf(x,y) имеет непрчастнпроизв второго порядка в некоторой окрестности своей стационарной точки P. Положим ∆=detf’’(P)=f’’xx(P) f’’yy(P)-(f’’xy(P))2тогда если ∆>0, то в точке Рф-ция имеет лок экстремум, при чем f’’xx(P)<0-лок макс, f’’xx(P)>0- лок мин; если ∆<0, то в точке Р нет экстремума   88. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.   89. Числовые ряды с неотрицательными членами.Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда ап >0 для любого n=1,2,....Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы послед-ть его частичных сумм была ограничена.   90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.   91. Признаки сравнения, Даламбера и Коши: Если для ряда с положительными членами a1+a2+….+an+…. Существует такое число q<1, что при всех n(или, начиная с некоторого n) выполняется неравенство an+1/an<q, то ряд сходится. Если же an+1/an>1 для всех или начиная с некоторогоn,то ряд расходится. Признак Коши: Если существует предел limn→∞an+1/an=d, то ряд сходится в случае d<1, расходится в случае d>1. Интегральный признак: Пусть неотрицательная ф-цияy=f(x) определена и монотонно убывает для x>1. Тогда для сходимости ряда f(1)+f(2)+…+f(n)+… необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫1f(x)dx Первый признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами: a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+…., причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго: an<bn (n= 1, 2,….). Тогда из сходимости второго ряда («большего») следует сходимость первого ряда («меньшего»). Эквивалентно из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда. Второй признак сравнения: Если для рядов a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+….,с положительными членами существуют отличный от нуля предел отношения limn→∞an/bn=u, то ряды a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+…. Сходятся или расходятся одновременно.   106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений Дифференциальное уравнение n-го порядка, называется линейным. Если оно имеет вид yn+a1xyn-1+a2xyn-2+…+anxy=f(x), где a1x, a2x, …, anx, f(x) – непрерывныеф-ции. W(y1, y2,…,yk)=|y1 y2 …. Yk| |y’1y’2 …. Y’k| |.. …………… | |y1(k-1)y2(k-1) …. Yk(k-1)| Систему уравнений y1(x),…., yn(x), состоящую из n линейно зависимых решений уравнений L(y)=0, будем называть фундаментальным набором решений этого уравнения.     109. Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений в случае существования базиса из собственных векторов. 1 случай: собственные значения λ1 и λ2 действительные и различные. Y=C1Y1+C2Y2 2 случай: собственные значения λ1 и λ2 комплексно сопряжены. Y=C1Y1*+C2Y2*, где 3 случай: характеристическое уравнение имеет единственный корень λ (кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора Р1 и Р2: Y1=eλtP1, Y2=eλtP2 4 случай: характеристическое уравнение имеет единственный корень λ (кратности 2), которому соответствует один собственный вектор Р1 (методом неопределенных коэффициентов)  

 




Дата добавления: 2015-02-22; просмотров: 45 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав