Читайте также:
|
Двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, а сверху- поверхностью z=f(x,y)
Если подынтегральнгая функция f(х,y) тождественно равна единице в области D, то значение двойного интеграла совпадает с площадью области интегрирования
77. Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. Док – во. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем Sn=Sn-1+an, или an=Sn-Sn-1. При n→∞ обе части суммы Sn иSn-1 стремятся к пределу S, поэтому из равенства an=Sn-Sn-1 следует, что limn→∞an= limn→∞Sn- limn→∞Sn-1=S-S=0. Подчеркиваем еще раз, что мы установили, только необходимое условие сходимости ряда, т.е. условие при на рушении которого ряд не сможет сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда.
78. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного рядана интервале сходимости. Пусть ф-ция разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд f(x)=a0+ a1x+ a2x2+..+ anxn+..(1)Рассмотрим степенной ряд a1+ 2a2x+..+nanxn-1+..(2) полученный почленным дифференцированием ряда:
1)ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1)
2) на всем интервале (-R,R) ф-цияf(x) имеет производную f’(x), которая разлагается в степенной ряд (2)
Следствие: ф-цияf(x), которая разлагается в степенной ряд (1)на интервале (-R,R), бесконечно диф на этом интервале. Разложение в степенной ряд для любой производной получается почленным дифференцированием ряда (1). При этом радиусы сходимости рядов раны радиусу сходимости ряда.
Если ф-цияf(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R,R), то она интегрируема на этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда: ⌠x2x1f(x)dx=⌠x2x1a0+ a1x+ a2x2+..+ anxn+.dx=⌠x2x1 a0+⌠x2x1 a2 x2dx+…⌠x2x1 anxndx+..
101. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме. Если в некоторой окрестности точки (х0;у0) ф-цияf(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’y, то существует такая окрестность точки (х0;у0), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x0)=y0имеет решение, притом единственное.
107. Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка). 1 случай: y=C1eλx+C2еλx2 случай: у=еах(С1cosβx+C2sinβx) 3 случай: y=eλx(C1+C2x)
108. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. y=xleax(Pm(x)cosbx+Qm(x)sinbx)
79. Определение первообразной для ф-ции
на промежутке 
.
Ф-цияy=F(x) называется первообразной для ф-цииy=f(x) на промежутке X, если для любого хϵXвыполняется равенство: F’(x)=f(x)
80. Определение неопределенного интеграла.Если F(x)-первообразная для f(x), то выражение F(x)+C, где С-произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от ф-цииf(x).(⌠f(x)dx=F(x)+C) Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции ограниченной линиями x=a,x=b при b>a, осью Ох и графиком неотрицательной непрерывной ф-цииy=f(x)
81. Свойства определенного интеграла
1. Интеграл от суммы двух функций f1(x) и f2(x) по отрезку [a;b] равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку
2. Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла
3. Интеграл от неотрицательной функции на отрезке [a;b] – неотрицательное число, то есть если 
82. Свойства неопределенного интеграла
Производная неопределенного интеграла равна подфнтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. 
1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака неопределенного интеграла
3. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых
83. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.Если частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) определены в окрестности точки (x0,y0), то ф-цияz=f(x,y) дифференцируема в этой точке
84. Производная по направлению.Производной ф-цииf(x,y) в точке (x0,y0)по направлению е(стрелка сверху)называется предел: (δf(x0,y0))/δе↑=lim ((f(x0 +tex, y0+tey)-f(x0,y0))/t) где t→0+0
85. Градиент. Свойства градиентаГрадиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным, взятым в точке M(x,y).Grad f(M)=(f’x(M),f’y(M)). Градиент указывает направление наискорейшего роста ф-ции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.│Gradf(M)│=δf(M)/δeПоложимѱ(t)=f(p+tv), p,vϵRn, тогдаѱ’(0)=(gradf(p),v)
Градиент ф-цииgradf(M) является вектором нормали касательной к линии уровня в точке М. Градиент ф-цииf(x,y,z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня ф-ции в точке М
86. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
87. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.Пусть ф-цияnпеременных f(x↑) имеет в окрестности своей стационарной точки а↑ непрерывные частные производные второго порядка, тогда: если квадр форма d2fa↑пол определена, то а↑- точка лок мин f (для пол наоборот). Пусть ф-цияf(x,y) имеет непрчастнпроизв второго порядка в некоторой окрестности своей стационарной точки P. Положим ∆=detf’’(P)=f’’xx(P) f’’yy(P)-(f’’xy(P))2тогда если ∆>0, то в точке Рф-ция имеет лок экстремум, при чем f’’xx(P)<0-лок макс, f’’xx(P)>0- лок мин; если ∆<0, то в точке Р нет экстремума
88. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
89. Числовые ряды с неотрицательными членами.Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда ап >0 для любого n=1,2,....Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы послед-ть его частичных сумм была ограничена.
90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
91. Признаки сравнения, Даламбера и Коши: Если для ряда с положительными членами a1+a2+….+an+…. Существует такое число q<1, что при всех n(или, начиная с некоторого n) выполняется неравенство an+1/an<q, то ряд сходится. Если же an+1/an>1 для всех или начиная с некоторогоn,то ряд расходится.
Признак Коши: Если существует предел limn→∞an+1/an=d, то ряд сходится в случае d<1, расходится в случае d>1.
Интегральный признак: Пусть неотрицательная ф-цияy=f(x) определена и монотонно убывает для x>1. Тогда для сходимости ряда f(1)+f(2)+…+f(n)+… необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫1∞f(x)dx
Первый признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами: a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+…., причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго: an<bn (n= 1, 2,….). Тогда из сходимости второго ряда («большего») следует сходимость первого ряда («меньшего»). Эквивалентно из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда.
Второй признак сравнения: Если для рядов a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+….,с положительными членами существуют отличный от нуля предел отношения limn→∞an/bn=u, то ряды a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+…. Сходятся или расходятся одновременно.
106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений Дифференциальное уравнение n-го порядка, называется линейным. Если оно имеет вид yn+a1xyn-1+a2xyn-2+…+anxy=f(x), где a1x, a2x, …, anx, f(x) – непрерывныеф-ции.
W(y1, y2,…,yk)=|y1 y2 …. Yk|
|y’1y’2 …. Y’k|
|.. …………… |
|y1(k-1)y2(k-1) …. Yk(k-1)|
Систему уравнений y1(x),…., yn(x), состоящую из n линейно зависимых решений уравнений L(y)=0, будем называть фундаментальным набором решений этого уравнения.
109. Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений в случае существования базиса из собственных векторов.
1 случай: собственные значения λ1 и λ2 действительные и различные. Y=C1Y1+C2Y2
2 случай: собственные значения λ1 и λ2 комплексно сопряжены. Y=C1Y1*+C2Y2*, где 
3 случай: характеристическое уравнение имеет единственный корень λ (кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора Р1 и Р2:
Y1=eλtP1, Y2=eλtP2
4 случай: характеристическое уравнение имеет единственный корень λ (кратности 2), которому соответствует один собственный вектор Р1
(методом неопределенных коэффициентов)
Дата добавления: 2015-02-22; просмотров: 112 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |