Читайте также:
|
В первой части курса "Аналитическая механика и теория колебаний" (V семестр) студенты знакомятся с основными способами составления дифференциальных уравнений движения дискретных механических систем, определением собственных частот и форм малых колебаний, свободными колебаниями консервативных и неконсервативных механических систем и приобретают опыт выполнения соответствующих расчетов.
ТЕМАТИКА ЗАНЯТИЙ
Введение. Уравнения Лагранжа второго рода. Малые колебания консервативных систем. Малые колебания диссипативных систем. Аналогии в динамике. Вариационные принципы механики.
КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН КУРСА
Осенний семестр [VII] (17 недель)
Лекции - 34 ч
Практические занятия - 12 ч
Лабораторные занятия - 4 ч
ВСЕГО: - 50 ч
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИЙ И РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Лекция 1.
Введение. Краткий исторический обзор направлений развития динамики механических систем. Место аналитической механики в ряду дисциплин, объединяемых термином "Механика".
Классификация механических систем. Связи, накладываемые на абсолютные и взаимные положения и скорости элементов механической системы. Признаки, по которым принято классифицировать механические системы: наличие или отсутствие в уравнениях связей в явном виде времени и скоростей точек механической системы. Связи стационарные и нестационарные (склерономные и реономные), геометрические (конечные) и кинематические (дифференциальные). Дифференциальные интегрируемые связи. Удерживающие и неудерживающие связи. Голономные и неголономные механические системы.
[1, п.1; 2, п.1.1; 3, п.1.1; 6, Гл.1, п.2, Гл.2, п.1; 7, Лекция 2.2]
Лекция 2.
Возможные и виртуальные перемещения механической системы. Действительные перемещения. Особенность уравнений связей, записанных для виртуальных перемещений. Примеры, показывающие неэквивалентность понятий "возможные" и "виртуальные" перемещения.
Основная задача динамики. Число степеней свободы. Вопрос о принципиальной возможности решения основной задачи динамики. Постулат идеальности связей. Примеры идеальных связей. Универсальность понятия идеальных связей.
Замечание о способах решения основной задачи динамики.
[1, п.2; 2, п.1.2, 1.3, 3.2; 3, 1.6, 6.2, 6.3; 6, Гл.2, п.1]
Лекция 3.
Общее уравнение динамики. Физический смысл общего уравнения динамики. Принцип виртуальных перемещений. Пример определения положений равновесия механической системы на основании принципа виртуальных перемещений. Понятие обобщенных координат. Связь между обобщенными и физическими координатами.
Обобщенные силы. Размерность обобщенной силы. Принцип виртуальных перемещений, записанный через обобщенные силы.
Уравнения Лагранжа второго рода для голономных систем. Преимущества уравнений Лагранжа второго рода для голономной системы перед подходами, используемыми в векторной динамике. Определение физических координат и реакций связи.
[1, п.3,4; 2, п.1.4, Гл.2, п.3.3; 3, п.5.1, 6.5, 6.6, 7.1; 6, Гл.2, п.2]
Лекция 4.
Определение числа степеней свободы, обобщенных координат, обобщенных сил, кинетической энергии, запись уравнений движения в форме Лагранжа второго рода для голономной системы на примере двойного математического маятника.
Кинетическая энергия механической системы в обобщенных координатах. Матрица инерции в обобщенных координатах. Кинетическая энергия голономной склерономной механической системы. Критерий Сильвестра.
[1, п.5; 2, п.1.4, п.3,4; 3, п.1.2, 4.1, 4.7, 5.1, 7.9]
Лекция 5.
Потенциальные силы. Полная энергия механической системы. Изменение полной механической энергии системы во времени. Изменение кинетической энергии в связи с классификацией механических систем и действующих активных сил. Определение консервативной системы.
Гироскопические силы. Матрица гироскопических коэффициентов. Необходимое и достаточное условие того, что сила является гироскопической. Матрица гироскопических коэффициентов силы Кориолиса.
Диссипативные силы. Коэффициенты матрицы демпфирования. Модели диссипативных сил. Диссипативная функция Рэлея. Механические системы с полной и частичной диссипацией. Пример.
[1, п.6-8; 2, п.3.7; 3, 4.1, 5.11; 4, Гл.1, п.5, Гл.2, п.3, Гл.3, п.12; 6, Гл.2, п.2]
Лекция 6.
Неопределенные множители Лагранжа. Определение реакций идеальных связей.
О возможности учета в уравнениях Лагранжа второго рода неидеальных связей. Уравнения Лагранжа второго рода при наличии дополнительных связей. Пример: запись уравнений движения двойного математического маятника при наложении дополнительной неидеальной связи с реакцией типа сухого трения.
[2, п.3.5]
Лекция 7.
Неголономные системы. Уравнения движения с множителями Лагранжа. Уравнения Чаплыгина.
[2, 7.2, 7.5; 3, п.8.7]
Лекция 8.
Малые колебания консервативных систем. Условия, при которых допустима линеаризация дифференциальных уравнений движения. Матрица квазиупругих коэффициентов. Система дифференциальных уравнений движения. Матрица квазиупругих коэффициентов. Система дифференциальных уравнений малых колебаний консервативной системы в обобщенных координатах. Решение системы дифференциальных уравнений. Частотный определитель. Собственная частота, собственная форма.
Пример: малые колебания двойного математического маятника.
[1, п.40,41; 4, Гл.3, п.1-3; 5, п.10-14; 6, Гл.3]
Лекция 9.
Свойства собственных форм. Случай кратных корней. Определение амплитуд и фаз колебаний по начальным условиям. Главные колебания. Нормальные координаты. Разложение прогиба механической системы по собственным формам. Матрица обобщенных масс. Связь между выбранными обобщенными и нормальными координатами. Выражение кинетической и потенциальной энергии в главных координатах. Дифференциальные уравнения движения в форме системы несвязанных уравнений относительно нормальных координат. Формула Рэлея. Кинетическая и потенциальная энергии главных колебаний.
[1, п.43,44; 4, Гл.3, п.6-11; 5, п.10-12,25; 6, Гл.3]
Лекция 10.
Функция Рэлея. Свойства функции Рэлея. Теорема о минимальных свойствах собственных частот. Теорема о положительности и разделении корней векового уравнения. Теорема об изменении собственных частот при наложении связей. Теоремы о влиянии на собственные частоты изменений масс и жесткостей механической системы. Формула Донкерлея.
[4, п.12-14; 5, п.24; 6, Гл.4]
Лекция 11.
Малые свободные колебания диссипативных систем на примере систем с линейным вязким трением. Система уравнений движения в главных координатах. Решение системы дифференциальных уравнений движения. Характеристические показатели системы дифференциальных уравнений. Свойства характеристических показателей. Векторная интерпретация решения уравнений движения. Отличительные особенности свободных колебаний диссипативных систем по отношению к консервативным системам. Определение движения диссипативной системы по начальным условиям. Зависимость характера колебаний системы от вида характеристических показателей.
[1, п.45,46; 4, Гл.3, п.12; 5, п.16; 6, Гл.5, п.1,2]
Лекция 12.
Системы с пропорциональным трением. Нормальные координаты для диссипативных систем. Внешнее демпфирование. Внутреннее демпфирование. Разложение решения дифференциальных уравнений движения диссипативной системы по собственным формам консервативной. Определение закона движения диссипативной системы по начальным условиям для нормальных координат. Логарифмический декремент колебаний.
[1, п.45,46; 4, Гл.3, п.12; 5, п.16; 6, Гл.5, п.1,2]
Лекция 13.
Метод комплексных амплитуд. Комплексная форма представления гармонических функций. Содержание вычислительного приема. Ограничения к применению метода комплексных амплитуд. Графическая интерпретация гармонического закона движения на комплексной плоскости. Примеры применения метода комплексных амплитуд: система с одной степенью свободы (свободные и вынужденные колебания), система с n степенями свободы (свободные колебания).
[5, п.3; 7, Лекция 3]
Лекция 14.
Аналогии в динамике. Аналогия "сила-напряжение". Пример составления дифференциальных уравнений для электрической цепи с тремя замкнутыми контурами. Аналогия "сила-ток". Пример: электрическая цепь с одной парой узлов. Электромеханические системы (на примере электродинамического вибровозбудителя).
[1, п.9; 6, Гл.2, п.5; 7, Лекция 7]
Лекция 15.
Вариационные принципы механики. Пространство конфигураций и событий. Фазовое пространство. Прямой и окольный пути. Вариации обобщенных координат. Принцип Гамильтона- Остроградского. Кинетический потенциал механической системы (функция Лагранжа). Действие по Гамильтону.
[1, п.3,4; 3, п.12.1-12.3]
Лекция 16.
Вывод уравнений Лагранжа второго рода на основании вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. Замечания о характере экстремума действия по Гамильтону. Понятие сопряженных кинематических фокусов. Пример: движение по инерции материальной точки по гладкой сфере.
[1, п.3,4; 3, п.12.1-12.3; 4, Гл.1, п.3.4; 6, Гл.2, п.2]
Лекция 17.
Два метода теории возмущений. Возмущения динамические и кинематические. Уравнения Лагранжа в явном виде. Метод вариаций произвольной постоянной. Пример.
[2, п.9.1, 9.2; 3, п.11.1]
Лекция 18.
Уравнения в вариациях. Пример.
[2, п.9.4; 3, п.11.10]
Лекция 19.
Обзорная контрольная работа.
Дата добавления: 2015-02-22; просмотров: 112 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |