Читайте также:
|
Тема. Дифференциал и приближённые вычисления значений функции
Занятие 9.
Определение9. 1. Если 
есть производная от функции 
в точке 
, а 
произвольное приращение аргумента, то дифференциалом функции назовем произведение 
.Дифференциал будем обозначать символами 
. Таким образом
(9.2)
Замечание. Если взять 
, то
(9.3)
Ввиду (9.3) дифференциал от функции будем записывать далее
(9.4)
Причем точка 
и величина 
не зависят друг от друга и задаются произвольно.
Так как дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, то формулы для дифференциалов те же, что и для производных, если каждую умножить на 
таблица дифференциалов
Связь между приращением функции и дифференциалом функции
Из определения производной функции имеем 
. Следовательно, разность 
есть величина
бесконечно малая 
. Отсюда получаем равенство
Сформулируем полученный результат.
ТЕОРЕМА 9. 1. Если функция 
дифференцируема в точке 
, то справедлива формула линейного приближения функции
(9.5)
где величина 
есть бесконечно малая .
Формула (9.5) позволяет нам приближенно вычислять дифференцируемую функцию.
Из (9.5) следует оценка максимальной погрешности при вычислении приближённого значения функции в точке 
. Ошибка при вычислении 
оценивается неравенством
(9.6)
Пример 9.1. Выделить линейную часть приращения функции 
Решение. Вычисляем приращение функции 
Мы получили формулу (9.5) для конкретной функции
Если мы отбросим погрешность 
, то получаем линеаризованную приближенную формулу
(справедливую при малых 
)
Пример 9. 2. Приближенно измеренный радиус шара оказался равным 5 
м. Используя формулу линейного приближения (9.5), оценить какова будет максимальная ошибка при вычислении объёма этого шара. Для расчётов взять 
.
Решение. В формуле (9.5) полагаем в этом случае 
. Объём шара вычисляется по формуле 
. Объём при 
равен 
Следовательно, 
и поэтому дифференциал 
. Дифференциал в нашем случае равен 
Применяя формулы (9.5), (9.6) получаем 
По условию задачи мы должны взять 
. Отсюда получаем максимально допустимую ошибку при вычислении объёма 
.
Инвариантность формулы дифференциала
Теорема 9. 2. Вид формулы дифференциала функции не изменится, если аргумент функции заменить новой переменной.
Доказательство. Пусть нам дана функция 
, тогда согласно формуле (9.4) её дифференциал равен 
, где 
независимая переменная. Если переменная 
сама становится зависимой 
. Тогда функция становится функцией, зависящей от переменной 
и её дифференциал будет равен 
.
Применяя цепное правило, получаем 
или
Вывод. Формула дифференциала 
справедлива независимо от того является ли переменное 
независимым или оно есть функция другого независимого переменного.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 116 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Вывод по работе | | | Как организована передача данных из памяти RAM в регистр команд? |