Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Параметры генеральной и выборочной совокупностей

Статистическая оценка выборки

Статистические данные широко используются практичес­ки во всех сферах науки, производства и управления. Чтобы управлять грамотно и эффективно, необходимо исследовать объект наблюдения и выявить его основные свойства. Обыч­но статистические данные очень объемны, поэтому в процес­се их использования требуются такие методы, при которых по достаточно ограниченной совокупности можно получить сведения обо всем объекте в целом. Таки методы и предлага­ет математическая статистика.

Математическая статистика является фундаментом для создания выборочного метода, при котором выводы, сделан­ные на основе изучения части совокупности (случайной вы­борки), распространяются на всю генеральную совокупность. В этом заключена сущность выборочного метода и его веду­щая роль в статистике. Теорема Чебышева служит обоснова­нием выборочного метода, широко применяемого в статис­тике, когда по случайной выборке судят обо всей совокуп­ности исследуемых объектов.

Пусть, например, нам необходимо провести анализ днев­ной выручки торговых киосков города, которых насчиты­вается более 1000. Все киоски города — это генеральная совокупность (определение 11.5). Числовые характеристи­ки генеральной совокупности нам не известны: средняя днев­ная выручка, дисперсия и среднее квадратическое отклоне­ние дневной выручки, доля киосков, в которых дневная выручка не превышает 1000 долларов и т.д.

Определение 13.1. Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называ­ется генеральной долей и обозначается р.

Определение 13.2. Параметрами генеральной совокуп­ности называют характеристики генеральной совокупно­сти, такие как средняя арифметическая, дисперсия, гене­ральная доля ().

Обследовать все киоски и долго, и дорого, поэтому сле­дует воспользоваться результатами выборочного обследо­вания. Пусть из генеральной совокупности случайным об­разом извлекается выборка объемал n (например, п = 50 ки­осков, тогда выборка будет называться 5-процентной).

В предыдущей лекции приводится описание исследова­ния выборочной совокупности по данным вариационного ряда, который является статистическим распределением вы­борки, а также определены методы расчета основных ха­рактеристик выборки. Эти характеристики называются вы­борочными статистиками.

Определение 13.3. Статистическим распределением вы­борки называют перечень возможных значений призна­ка х. и соответствующих ему частот или относительных частот (частностей).

К выборочным статистикам относятся:

► _еы6 — выборочная средняя;

► _вы6 — выборочная дисперсия;

► выб. — выборочное среднее квадратическое отклонение;

► — выборочная доля — это доля в выборке элементов, которые обладают некоторым свойством ( = —, где п — объем выборки, a m — количество единиц выборочной совокупности, обладающих этим свойством). Статистики, получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Например, если исполь­зовать собственно-случайный отбор студентов из всего кол­леджа для определения среднего балла по математическим дисциплинам (из 600 студентов случайным образом отбира­ют 60 человек), то, проведя этот отбор несколько раз, можно

получить разные значения выборочных статистик. В пер­вой выборке средний балл оказался равным 3,82, во вто­рой — 3,89, в третьей — 3,78. Поэтому статистика, получен­ная из выборки, отличается от соответствующего парамет­ра в генеральной совокупности, но является оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности.

Определение 13.4. Оценкой параметра называется опре­деленная числовая характеристика, полученная из выбор­ки. Когда оценка определяется одним числом, ее назы­вают точечной оценкой.

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная тео­рема Ляпунова.

Выборочная средняя является точечной оценкой генераль­ной средней, т.е. Х_выб Х_ген Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: — выборочная дисперсия; S² — исправленная выборочная дисперсия, первая исчисляется при п 30, a S² — при <30.

Имеет место равенство:

(13.1)
ИЛИ

При больших объемах выборки и S² практически совпадают.

Генеральное среднее квадратическое отклонение σ _ген так­же имеет 2 точечные оценки: . — выборочное среднее квадратическое отклонение и S — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. σ_выб используется для оценивания σ_ген при n 30, а 5—для оценивания σ_ген,

при п < 30; при этом σ_выб

Для того чтобы статистики служили хорошими оценка­ми параметров генеральной совокупности, они должны обладать рядом свойств: несмещённости, эффективности, состоятельности, достаточности. Всем указанным свой­ствам отвечает выборочная средняя. σ²_еыб — смещённая оценка. Для устранения смещения при малых выборках вводится поправка