Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть нам известно начальное приближение к корню (вопрос выбора начального приближение будет подробно рассмотрен ниже). Проведем в этой точке касательную к кривой (рис. 2.8). Эта касательная пересечет ось абсцисс в точке , которую будем рассматривать в качестве следующего приближения. Значение легко найти из рисунка:

,

выражая отсюда , получим

.

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения. Формула для k +1-го приближения имеет вид

, (2.15)

Из формулы (2.15) вытекает условие применимости метода: функция должна быть дифференцируемой и в окрестности корня не должна менять знак.

Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия (2.12) или (2.14).

Ø Замечание 1. В методе Ньютона, в отличие от предыдущих методов, не обязательно задавать отрезок , содержащий корень уравнения, а достаточно найти некоторое начальное приближение корня .<

Ø Замечание 2. Формула метода Ньютона может быть получена и из других соображений. Зададимся некоторым начальным приближением корня . Заменим функцию f (x) в окрестности точки отрезком ряда Тейлора:

,

и вместо нелинейного уравнения решим линеаризованное уравнение

рассматривая его решение как следующее (первое) приближение к искомому значению корня. Решение этого уравнение очевидно:

Повторяя это процесс приходим к формуле Ньютона (2.15).<

Сходимость метода Ньютона. Выясним основные условия сходимости последовательности значений , вычисляемых по формуле (2.15), к корню уравнения (2.1). Предполагая, что дважды непрерывно дифференцируема, разложим в ряд Тейлора в окрестности k -го приближения

.

Разделив последнее соотношение на и перенеся часть слагаемых из левой части в правую, получим:

.

Учитывая, что выражение в квадратных скобках согласно (2.15) равно , переписываем это соотношение в виде

.

Отсюда

. (2.16)

Из (2.16) следует оценка

, (2.17)

где , .

Очевидно, что ошибка убывает, если

. (2.18)

Полученное условие означает, что сходимость зависит от выбора начального приближения.

Оценка (2.17) характеризует скорость убывания погрешности для метода Ньютона: на каждом шаге погрешность пропорциональна квадрату погрешности на предыдущем шаге. Следовательно, метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью.

Выбор начального приближения в методе Ньютона. Как следует из условия (2.18) сходимость итерационной последовательности, получаемой в методе Ньютона, зависит от выбора начального приближения . Это можно заметить и из геометрической интерпретации метода. Так, если в качестве начального приближения взять точку (рис. 2.9), то на сходимость итерационного процесса рассчитывать не приходится.

Если же в качестве начального приближения выбрать точку , то получим сходящуюся последовательность.

В общем случае, если задан отрезок , содержащий корень, и известно, что функция монотонна на этом отрезке, то в качестве начального приближения можно выбрать ту границу отрезка , где совпадают знаки функции и второй производной . Такой выбор начального приближения гарантирует сходимость метода Ньютона при условии монотонности функции на отрезке локализации корня.