Читайте также:
|
Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с³х(х³с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченным Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань. Наименьше(наибольшее) из чиселб ограничивающих X сверху(снизу) назыв. точной верхней(нижней) гранью. Точные грани не обязательно должны принадлежать самому множеству.
6. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними
Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е. ("A>0)($N=N(A))("n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б.
Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε (сколь бы малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n>N выполняется нер-во |An|< ε, т.е. ("ε>0)($N=N(ε))("n>N):|An|< ε
Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть {1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть. (следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.
7. Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N:½xn-a½< e Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися. Св-ва сходящихся посл-тей: 1) Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. 2) Сходящаяся посл-ть ограничена. 3)Если все Эл. б.м. равны одному и тому же числу с, то с=0. 4) Пусть посл-ть {xn}®a,{yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:
а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b
б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b
в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0
8. Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.
Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y- зав. пер.
X=Df=D(f) y={y;y=f(x),xÎX} x1ÎX1, y1=f(x1)
1) аналит. способ; 2)Табличный способ;
3) Графический способ;
4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е. $ m,M: m£f(x)£M "xÎX
m£f(x) "xÎX => огр. сн.; f(x)£M, "xÎX=> огр. св.
Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|<E. limn®¥Xn=A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.
Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность (.)А.
12. Классификация т-ки разрыва
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го, и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва.
Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.
9. 1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный
2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A
lim(x®x0)g(x)£B=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций. а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B в) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B г) lim(x®x0)C=C д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A
1) lim(x®0)sin/x=1 2)lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1) lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)
t=1/x => при х®0 t®¥ из предела (2) => lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3)
Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0
Ф-ия y=f(x)наз-ся бесконечно большой при x®x0 если для "М>0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x0|<d будет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x x0-d<x<x0+d, -M>f(x)>M.
Lim f(x)=¥ (x®x0).
11. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0)) если f(x)®A при х®х0, х>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)®A
Запись: f(x0+o), f(x0+). lim(x®x0+o)f(x) где запись x®x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.
Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)
10. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a).Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.
Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)
Пусть функция у= f(х) определена в точке х=х1 и . lim=f(х1+Δх1) – f(х1). при Δх1 стрем к 0.
Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность) y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.
Основные элементарные функции:
1)Степенные функции: y = xa, где а – любое постоянное число. Областью определения считается промежуток x > 0, но если, например, а–натуральное число, функция определена для всех х.
2)Показательная функция: y = ax, где a > 0, a ≠1. Область определения – множество всех действительных чисел. 3)Логарифмическая функция: y = logax, где a > 0, a ≠1. Область определения: x > 0. 3)Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.
Область определения для sin x и cos x – множество действительных чисел.
4)Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx.
Область определения x Î [-1; 1] для arcsin x и arccos x, множество действительных чисел для arctg x.
13. 1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность) y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.
Док-во (суммы): По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]=
=limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.·
2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).
Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е. $ с>0:½f(x)½£c "xÎ(a,b).
Т-ма 2 (о $ экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. $ т-ка max X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x) "xÎ[a,b].
4. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется /х/= По определению /х/ ≥ 0. Свойства абсолютных величин:1-│х│≤ х ≤ │х│.2. │х+у│ ≤ │х│+│у│, 3. │х-у│ ≥ │х│ - │у│, 3.1│х-у│ ≥ │у│-│х│ 4. │х-у│≤ │х│+│у│5. │ху│ = │х│*│у│, 4. │х/у│ = │х│/│у│ 6.Пусть │х│< ε, можно написать: -ε≤ х ≤ε
14. Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия имеет в т. х0∈(а; в) производную f ’(x0) если существует предел
lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)
x→x0 Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
ФУНКЦИЯ НАЗЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ В ТОЧКЕ, ЕСЛИ В ЭТОЙ ТОЧКЕ ОНА ИМЕЕТ ПРОИЗВОДНУЮ, Т.Е. ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ КОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛ.
Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале.
Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной.
dy=f`(x)Δx Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
18. Производная натурального логарифма от независимой переменной равна обратной величине этой независимой переменной. Производная от логарифма функции называется логарифмической производной функции. Производная показательной ф-ции равна самой ф-ции, умноженной на натуральный логарифм основания. Производная степени независимой переменной равна показателю степени, умноженному на основание в степени на единицу меньше.
Эластичность ф-ций
Опр. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысл лог. пр-ная. Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной.
Ef(x)=x*f‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘
15. Приближ знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x0+Dx)-f(x0) =>f(x0+Dx)=f(x0)+Dy»f(x0)+df(x0)=f(x0)+f\(x0)dx, dx=Dx.
Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0;f(x0)). Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)).
Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх
16. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложения Df в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)= f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)-б/м ф-ия при Dх®0
(U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)
(U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)
(C*U(x))` = CU`(x), C - const
(U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V2(x)
Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке t0, g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в точке t0 и выполняется след. Формула: f’(g(x))=f’(x0)*g’(t0)
20. Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0 $ пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.
2) Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда $ т-ка сÎ(a,b), в которой f‘(c)=0.
3) Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).
17. Теорема. Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f¢(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g¢(y0)=1/f(x0) или x¢y=1/y¢x.
Доказательство.
Пусть а=f¢(x0). Тогда из дифференцируемости f(x) в х0 следует, что приращение Dу= f(x0+Dх) - f(x0) можно представить в виде Dу=аDх+аDх=(а+а) Dх, где а=а(Dх)®0 при Dх®0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что Dх®0, когда Dу®0. Имеем
g¢(y0)= lim g(y+Dy)-g(y0) = lim Dx =lim ìDyü-1 = 1.
Dy®0 Dy Dy®0 Dy Dy®0 îDxþ f¢(x0)
19. Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′. В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.
При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’.
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:
d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка
d3y=d(d2y)…
dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка
Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n.
Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).
21. Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹0. Тогда $ т-ка сÎ(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).
Правило Лопиталя.
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный.
Раскрытие ¥/¥. Второе правило.
Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.
Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0.
Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. А неопр.0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0
23. Необходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х0 локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f¢(x0)=0.
Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 – точка локального максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то х0 – точка локального минимума.
Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на этом отрезке, то у=f(x)-const, тогда и только тогда, когда f¢(x)=0 при "х'[a,b]. Если функция непрерывна, дифференцируема на (a,b) и внутри (a,b) сохраняет знак, то функция у=f(x) монотонна.
22. Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен
T(x) = f(x0) + ((f’(x0))/1!)(x – x0)1 + (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x – x0)n
Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0.
Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула
F(x) = T(x) + (f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора,
где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0,
rn(x) = (f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа. при х0 = 0, получается формула Макларена.
1) (1+x)a» 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x2 +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xn,
2) ex» 1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!,
3) ln(1+x)» x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…+(-1)n+1xn/n
4) sin x» x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!,
5) cos x» 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!,
24. График ф-ии яв-ся выпуклым на некот промеж, если все его точки леж. ниже люб касат, провед к этой кривой. Вогнутый - наоборот. выпуклости (f''(x)<0), вогнутости (f''(x)>0)
Точка перегиба – точка, отделяющ выпук часть непрер прямой от вогнутой части.
Необходимое условие - чтобы f”(x1)=0
Достаточное условие - смена знака второй производной при переходе через эту точку.
25. Асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а;в) если а и в конечные числа Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл. горизонтальной асимптотой f(x) Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й
Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть правосторонней или левосторонней
1 ООФ, ОЗФ 2 Непрерывность ф-ии 3 Нахождение асимптот 4 Экстремумы и интервалы монотонности
5 Интервалы выпуклости и т. перегиба 6 Чётность нечётность, периодичность 7 Т. пересечения с Ох и Оу
27. Пусть Х – множество в Rn. Точка р0 называется предельной для Х, если в любой окрестности точки р0 (любом шаре B(p0, ε)) имеются точки множества Х, отличные от р 0 1)пред. т. множества может не принадлеж. этому мн-ву. 2)любая окрестность предельной точки мн-ва сод бесконечное мн. точек этого мн. внутренней точкой множества Х, если существует шар B(p,r), все точки которого принадлежат Х;
Внешней точкой по отношению к Х, если существует шар B(p,r), ни одна точка которого не принадлежит Х; граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой Х, иначе говоря, если любой шар с центром р содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х Множество Х называется открытым, если его точки внутренние. Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.
28. Определение функции нескольких переменных.
Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.
Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.
G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения.
30 Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р0(х0,у0)- рассматриваемая точка.
Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р0, если выполняются 3 условия:
1)функция определена в этой точке. f(р0) = f(x,y);
2)ф-я имеет предел в этой точке.
Lim f(р) = b
pàp0
3)Предел равен значению функции в этой точке: b = f(x0,y0);
Lim f(x,y) = f(x0,y0);
pàp0
Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.
Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.
Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.
Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.
31. Величина Dz=f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0) (одновременное изменение величин х и у) называется полным приращением функции z в точке (x0,y0). Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующией независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю. Если сущ-ет lim(Δx→0)f(x+Δx,y)-f(x,y)/Δx=fx`(x,y) то он называется частной производной по переменной х.
Если сущ-ет lim(Δy→0)f(x,y+Δy)-f(x,y)/Δy=fy`(x,y) то он называется частной производной по переменной y
Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)
Функция называется дифференцируемой в точке (х0, у0), если её полное приращение можно представить в виде Dz=f(x,y)- f(х0, у0)=fx¢(х0, у0)Dx+fy¢(х0, у0)Dy+ep или, короче, Dz=dz+ep, где e=e(Dх, Dу) – функция бесконечно малая при Dх® 0,Dу®0; Дифференцируемость функции z=f(z,y) в точке (х0,у0) предполагает наличие производных z¢x и z¢y в этой точке. Поэтому, если хотя бы одна из указанных производных не существует, то функция не является дифференцируемой в точке (х0,у0).
Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.
32. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции, который определяется как сумма произведений частных производных функций на приращения независимых переменных. Так, в случае функции от двух переменных полный дифференциал определяется равенством dz=z¢xDx+z¢yDy. Следует помнить, что в различных точках (х0, у0) дифференциал будет различным.
Достаточное условие дифференцируемости функции.
Если z=f(x,y) имеет в точке р(х,у) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке, т.е. она имеет полный дифференциал.
35. Частные производные высшего порядка.
Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.
¶z/¶x=f¢x(x,y)
¶z/¶y=f¢y(x,y)
В общем случае, эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.
Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.
Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны.
¶2z/¶x¶y=¶2z/¶y¶x - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается.
¶nz/¶xn-2¶y2
33. р=Ö(Dх)2+(Dу)2 - расстояние от точки (х,у) до точки (х0,у0).
Запишем линейный аналог уравнения, отбросив слагаемое eр:
z-f(х0,у0)=f¢x(х0,у0)(x-x0)+f¢y(х0,у0)(y-y0). Это уравнение в коотдинатах x,y,z задаёт плоскость, которая называется касательной плоскостью к графику функции f(x,y) в точке (М(х0,у0), f(х0,у0)).
34. Производная по направлению. Градиент.
Пусть l=(lx;ly) – произвольный единичный вектор, т.е. такой вектор, что
|l|=Ölx2+ly2=1
Производной функции f(x,y) в точке (х0,у0) по направлению вектора l называется предел df(х0,у0)=lim f(х0+tlx,у0+tly)- f(х0,у0)
dl t®0+0 t
Говорят также, что df(х0,у0)/dl – это скорость изменения функции в точке (х0,у0) в направлении вектора l.
Градиентом функции в точкеМ называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М.
Пример для функции от двух перменных. f(x,y) grad f(M)=(fx¢(M);fy¢(M)).
Градиент можно записать короче. df(M)(grad f(M),l)
dl
где (grad f(M),l) – скалярное произведение векторов.
[(grad f(M),l)=|grad f(M)|*|l|cosj, l – единичный вектор] Ни количество аргументов функции f, ни длина вектора l не играет существенного значения при выводе формулы.
Вывод.Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.
36. Точка М0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x,y), если существует такая окрестность точки М0, в которой для любой точки М(х,у) выполняется неравенство f(M)£f(M0) (f(M)³f(M0)).
Точки локального экстремума называются просто точками экстремума.
Необходимое условие существования экстремума. Если функция f(x,y) имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М0(х0,у0), то f¢x(M0)=f¢y(M0)=0.
Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но не достаточное условие существования экстремум.
Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называют критическими точками.
Достаточное условие существования экстремума. Пусть функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки М0(x0,y0). Положим D= f¢¢xx(M0)f¢¢yy(M0) – (f¢¢xy(M0)2. тогда:
37. экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух переменных.
В этом методе не требуется выражать явно y через х, однако используется то обстоятельство, что в случае предполагаемой замены y на g(x) дело сводится к безусловному экстремуму функции одной переменной.
Итак, находим полную прозводную от z по х, считая y функцией х:
В точках экстремума dz: dx=0, следовательно (1),
Применим снова правило дифференцирования сложной функции к уравнению φ(x,y)=0. Будем предполагать при этом, что у заменен той самой функцией х, которая неявно задается уравнением. Такая замена превращает уравнение φ(x,y)=0 в тождество. Получим (2):
Умножим (2) на неопределенный множитель λ и сложим с (1):
 |
Мы приходим к необходимым условиям экстремума (4):
В этой системе из трех уранений три неизвестные величины x, y и l. Из системы находятся одна или несколько точек (х,у). Что касается l, то этот множитель играет вспомогательную роль и дальше не требуется. Найденные точки (х,у) проверяют на наличие в них экстремума и его вид (максимум или минимум). В случае необходимости вычисляются значения f(x,y) на концах промежутка, ограничивающего изменение х
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 91 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Основные черты советского государства и общества в конце 30-х гг. | | | Сформулируйте признаки перпендикулярности прямой и плоскости на комплексном чертеже. |