|
Читайте также: |
Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3.
Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2.
Δ C1B2B1 = Δ C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, ∠ C1B2B1 = ∠ C2B2B3, как вертикальные, ∠ B1C1B2 = ∠ = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.
5 билет.
1) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Признаки.
1) Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2) Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.
3) Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.
1) Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.
Дано: АВС — данный треугольник; О — центр описанной около него окружности (рис. 30).
Доказать: О — точка пересечения серединных перпендикуляров.
Доказательство. Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны О А и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника.
Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
6 билет.
1) Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых
Свойства
Противоположные стороны параллелограмма равны
| AB | = | CD |, | AD | = | BC |.
Противоположные углы параллелограмма равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
| AO | = | OC |, | BA | = | OD |.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180
Сумма всех углов равна 360°
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон:
пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, d1 и d2 — длины диагоналей; тогда d1^2+d2^2=2(a^2+b^2)
2) Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
[П] Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Дано: АВС — данный треугольник; О — центр вписанной в него окружности; D, Е и F — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 27).
Доказать: О — точка пересечения биссектрис.
Доказательство. Прямоугольные треугольники AOD иАОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза ОА — общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух биссектрисах треугольника.
Дата добавления: 2015-04-22; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |