Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А₁, А₂, …, А_m. Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их B₁, B₂, …, В_n. Говорят, что игра имеет размерность m×n. В результате выбора игроками любой пары стратегий

А_i и В_j (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n)

однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш а_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-а_ij) игрока В. Предположим, что значения а_ij известны для любой пары стратегий (А_i, B_j). Матрица Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А_i и В_j, называется платёжной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1

Таблица 1

Bi Аj	В1	В2	…	Вn
А1	а11	а12	…	а1n
А2	а21	а22	…	а2n
…	…	…	…	…
Аm	аm1	аm2	…	аmn

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.

Рассмотрим игру m×n с матрицей Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …,n и определим наилучшую среди стратегий А₁, А₂, …, А_m. Выбирая стратегию А_i, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той из стратегий В_j, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится “навредить” игроку А).

Обозначим через a_i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i- й строчке платёжной матрицы), т.е.

_.

Среди всех чисел a_i (i = 1, 2, …,m) выберем наибольшее: .

Назовём a нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

.

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию В_j, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

.

Среди всех чисел b_j выберем наименьшее и назовём b верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,

.

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив таблицу 1 строкой b_j и столбцом a_i, получим таблицу 2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Таблица 2

Bi Aj	B1	B2	ai
A1	- 1		- 1
A2		- 1	- 1
bj			a = -1 b = 1

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры a = b = n называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш n, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша n. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегии A_i и B_j даёт оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своём столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз – в другом).

Обозначим А^* и В^* - пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введём функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: P(A_i, B_j) = a_ij. Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: P(A_i, B^*) £ P(A^*, B^*)£ P(A^*, B_j), которое справедливо для всех i = 1,…,m; j = 1, …, n. Действительно, выбор стратегии А^* первым игроком при оптимальной стратегии В^* второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: P(A^*, B^*) ³ P(A_i, B^*), а выбор стратегии В^* вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: P(A^*, B^*) £ P(A^*, B).