Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

а)Определители 2-го,3-го и п-го порядков (определения и из св-ва). б)Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.

а) Определителем матрицы 2-го порядка наз число, кот вычисляется по формуле:

∆₂=|А|=|а₁₁а₁₂|=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.-члены определителя.

|а₂₁а₂₂ |

Определителем матрицы 3-го порядка кот вычисляется по формуле: ∆₃=|А|=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₂+а₂₁а₃₂а₁₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₂а₂₁а₃₃-а₃₂а₂₃а₁₁.

Определителем квадратной матрицы n-го порядка наз число =алгебраической сумме п! членов, каждый из кот явл произведением п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^r(J)где r(J)-число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: ∆=|А|=∑_(J)(-1)^r(J)a_1j1a_2j2…a_njn.

C-ва: 1) если какая-либо строка (столбец) матрицы сост из одних нулей, то ее определитель=0. 2) если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число. 3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется |A^/|=|A|. 4) при перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5) если квадратная матрица содержит две одинаковые строки(столбца), то ее определитель=0. 6) если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. 7) сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на алгебраичские дополнения элементов др строки (столбца) этой матрицы равна 0. 8) определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки(столбца) матрицы прибавить элементы др строки(столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число. 9) Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки(столбца) = определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки(столбца) на числа b₁,b₂,…,b_n. 10) определитель произведения двух квадратных матриц= произведению их определителей.

б) Определитель п -го порядка = сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.

№3.а)Квадратная матрица и ее определитель. б)Особенная и неособенная квадратные матрицы. в)Присоединенная матрица. г)Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.

а) Если кол-во строк= кол-ву столбцов, то такая матрица наз квадратной размером m×m(матрица порядка m). Понятие определитель приминяется только для квадратных матриц, detA,(А),∆. Определителем кв матрицы А наз число, кот вычисляется по след правилам: 1) А=(а₁₁) detA=а_11. 2) А=(а₁₁а₁₂) detA=а₁₁а₂₂-а₁₂а_21.

(а₂₁а₂₂)

3) А=(а₁₁а₁₂а₁₃)

(а₂₁а₂₂а₂₃)

(а₃₁а₃₂а₃₃)

Для 3) правилом ∆(Саррюса). detA=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₃а₂₁а₃₂+а₃₁а₁₂а₂₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₁₁а₃₂а₂₃-а₃₃а₂₁а_12.

4) Определитель п -го порядка – сумме произведения элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ∆=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in. –разложение по строке. ∆=a_ijA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj- разложение по столбцу.А_ij=(-1)^i+jM_ij- алгеброическое дополнение.

в,г) Пусть матрица А- кв. Матрица А^-1-наз обратной к матрице А, если выполняется усл: А^-1А=АА^-1=Е. Мариица наз невыражденной, если ее определитель не =0, в противнос случае матрица- выражденная. Теорема(необходимое и достаточное усл сущ обратной матрицы): Обратная матрица А^-1сущ единственно тогда и только тогда, когда исходная матрица невыражденная и вычисляется по формуле А^-1= 1/ detA×А^~, А^~-присоединенная матрица сост из алгебраических дополнений транспонированной матрицы

А^~= (А₁₁А₂₁…А _{п 1}/А₁₂А₂₂…А _{п 2}/…/А_{1 п} А_2п…А_пп). Схема вычисления обр матрицы:

1) вычисляем определитель матрицы. Если определитель равен нулю, то матрица вырожденная и обратной матрицы не сущ. Если detA не=0, то: 2) вычисляем алгебраические дополнения и составляем присоединенную матрицу А^~. 3) Составляем обратную матрицу по формуле: А^-1= 1/ detA×А^~. 4) Выполняем проверку: А^-1А=Е.

№8. а)Система т линейных уравнений с п переменными (общий вид). б)Матричная форма записи такой системы. в)Решение системы(определение).г)Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

а) Система т линейных ур-ний с п переменными имеет вид:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_{1 п} х _п =b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_{2 п} х _п =b₂

{……………………………….

{ а_т1х₁ + а_т2х₂ + а_т3х₃ +…+а _тп х _п =b _т

б) Систему Ур-ний ↑ можно записать в матричной форме: А- матрица системы сост из коэффициентов при неизвестных. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

(а₁₁ а₁₂ а₁₃ …а_{1 п} ) (х₁) (b₁)

А=(а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_{2 п} ) Х= (х₂) В= (b₂)

(…………………..) (…) (…)

(а_т1 а_т2 а_т3 … а _тп) (х _п) (b _n)

Система ур-ния в матричной форме имеет вид Ах=В.

в) Решением системы наз такая совокупность п чисел (х₁=к_1,х₂=к_2,…, х _п =к _п), при подстановке кот каждое ур-ние системы обращается в верное равенство.

г) Система ур-ний наз совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной, если не имеет решений. Совместная система ур-ний наз определенной,если имеет ед решение, и неопределенной, если имеет более 1 решения.

№9. а) метод Гаусса решения системы п-линейных ур-ний с п переменными. б)Понятие о методе Жордана-Гаусса.

а) Метод последовательного исключения переменных заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов исходная система ур-ний приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из кот последовательно находятся все неизвестные переменные. Вычисление удобно проводить не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов.

№10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А^-1В.

Рассм систему линейных ур-ний состоящую из п -ур-ний и п неизвестных:

{а₁₁х₁+а₁₂х₂+а₁₃х₃+…+а_{1 п} х _п =b₁

{ а₂₁х₁+а₂₂х₂+а₂₃х₃+…+а_{2 п} х _п =b₂

{……………………………….

{ а_п1х₁ + а_п2х₂ + а_п3х₃ +…+а _пп х _п =b _п

Если матрица системы невырожденная (detA ≠0), то систему можно решить:1)матричным способом (метод обратной матрицы),2)По правилу Крамера, 3) методом Гаусса. Рассм 1 метод: Данная система в матричной форме имеет вид Ах=В, где А- матрица системы. Х-матрица неизвестных, В-матрица-столбец свободных членов.

(а₁₁ а₁₂ а₁₃ …а_{1 п} ) (х₁) (b₁)

А=(а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_{2 п} ) Х= (х₂) В= (b₂)

(…………………..) (…) (…)

(а_{п 1} а_п2 а_п3 … а _пп) (х _п) (b _n)

Т к detA ≠0, то сущ. обратная матрица А^-1: А^-1(АХ)=А^-1В; А^-1(АХ)=(А^-1А)Х=ЕХ=Х;Х=А^-1В

№16. а)Общее ур-ние прямой на плоскости, его исследование. б)Условия || и ┴прямых.

а) Запишем ур-ние прямой с к=1: у=kх+b; -kx+y-b=0; -kx→Ax,y→By.-b→C;Ax+By+C=0-ур-ние прямой. Частные случай ур-ния Ах+Ву+С=0: 1) А=0,следов. Ву+С=0, В,С-const.у=-С/В. Прямая || оси ОХ. А=С=0,следов. у=0-прямая совпадает с осью ОХ.

2) В=0,следов. Ах+С=0, А,С- const. Х=-С/А. А≠0. Прямая || оси ОУ. В=С=0,следов. х=0- прямая совпадает с осью ОУ.

3) С=0, следов. Ах+Ву=0. у=-А/В×х-прямая проходит ч/з начало координат.

б) 1. Если прямая L₁|| L₂,следов. φ =0, tg φ=0, следов. k₁₌k₂- условие || двух прямых.

2. L₁┴ L₂, тогда φ =π/2, следов. tg π/2-неопределен. сtg π/2=0, следов. сtgφ=1/tgφ=(1+k₁k₂)/(k₂- k₁). сtgφ=0, следов. 1+k₁k₂=0, k₁k₂= -1-условие ┴ двух прямых.

№19. а)Бесконечно малая величина (определение). б)Св-ва бесконечно малых (1 док-ть)

а) Функция L(х) наз бесконечно малой величиной при х→х_о, или при х→∞, если ее предел =0. Lim _{х→ хо (∞)}L(х)=0.

б) Св-ва: 1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. 2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную ф-цию (постоянную, бесконечно малую) есть величина бесконечно малая. 3) Частное от деления бесконечно малой величины на ф-цию, предел кот отличен от 0, есть величина бесконечно малая.

Докажем 1^о: По усл L(х) и В(х)-бесконечно малые при х→х_о,следов. для любого Е^/=Е/2>0, найдутся δ₁>0, δ₂>0, что для всех х≠ х_о и удовлетворяющих условиям: |х-х_о|< δ₁ и |х-х_о|< δ₂ выполняются соответственно неравенства |L(х)|<E/2 и |В(х)|<E/2. Если взять δ=min{δ_1;δ₂}, то неравенству |х-х_о|< δ будут удовлетворять решения неравенств |х-х_о|< δ₁ и |х-х_о|< δ_2, следов. неравенства |L(х)|<E/2 и |В(х)|<E/2 будут одновременно верны. Складывая почленно получим: |L(х)|+|В(х)|< E/2 +E/2=Е, т к |L(х)+В(х)|≤ <|L(х)|+|В(х)|-(св-во абсолют. величин.), получаем: |L(х)+В(х)| <Е. Для любого Е>0 сущ такое δ>0, что для всех и х≠ х_о и |х-х_о|< δ неравенство |L(х)+В(х)| <Е верно, следов. ф-ция L(х)+В(х)- есть величина бесконечно малая.

№20. а)Бесконечно большая величина (определение). б)Связь бесконечно малых величин с бесконечно большими.

а) Ф-ция f(x) наз бесконечно большой величиной при х→х_о, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от М, δ= δ(М)), что для всех х ≠ х_о и удовлетворяющих условию |х-х_о|< δ, будет верно неравенство | f(x) |>М. Записывается, как lim _х→хо f(x)=∞ или f(x)→∞ при х→х_о.

б) Теорема: Если ф-ция L(х) есть бесконечно малая величина при х→х_о(х→∞), то ф-ция f(x)=1/ L(х) явл бесконечно большой при х→х_о(х→∞). И обратно, если ф-ция f(x) бесконечно большая при х→х_о(х→∞), то ф-ция f(x)=1/ L(х) есть величина бесконечно малая при х→х_о(х→∞).

№21. а)Второй замечательный предел, число е. б)Понятие о натуральных логарифмах.

а) е= lim _{п →∞}(1+1/ п) ^п. Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности е= lim _{п →∞}(1+1/ п) ^п ,е= 2,718231… е- иррациональное число.

б) Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в матиматическом анализе. Широко используются логарифмы по основанию е, наз натуральными. Обозначаются символом ln: log_ex=lnx.

№22. а)Пределы ф-ций. Раскрытие неопределенностей различных видов. Б)Правило Лопиталя.

а) [0/0]1. {необходимо числитель и знаменатель разложить на простейшие множители},2.{необходимо для иррациональных ур-ний найти сопряженное ур-ние и домножить и разделить части на сопряженное ур-ние}. [∞/∞] {необходимо в числителе и знаменателе вынести переменную с максимальной степенью}. [∞-∞]1. {умножим и разделим выражения в скобках на сопряженное выражение для иррац ур-ний},2{привести к общему знаменателюожим и разделим выражения в скобках на сопряженное выражение для иррац ур-ьюмволом лизе.) есть величина бесконечно малая. }. [1^∞] {раскрывается с помощью второго замечательного предела } lim _{п →о}(1+ п)^{1/ п} =е.

б) Правило Лопиталя:Теорема: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших ф-ций = пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний сущ в указанном смысле. Выполняется для неопределенностей вида [0/0] и [∞/∞]. {необходимо найти производную отдельно числителя и отдельно знаменателя.}

№27.а)Формулы производных основных элементарных ф-ций (одну из них вывести). б)Производная сложной ф-ции.

а) 1)С^/=0; 2)х^/=1; 3) (х ^п)^/=пх^п-1; 4)(х^1/2)^/=1/2х^1/2;5)(а^х)^/=а^хlna; 6)(е^х)^/=е^х; 7)(logx)^/=1/хlna; 8)(lnх)^/=1/х;9)(sinx)^/=cosx;10)(cosx)^/= -sinx; 11) (tgx)^/=1/ cos²x; 12) (сtgx)^/= -1/ sin²x;13)(arcsinx)=1/(1-х²)^1/2; 14) (arctgx)^/=1/(1+х²); 15) (arccosx)^/= 1/(1-х²)^1/2; 16) (arcсtgx)^/=-1/(1+х²);17) (lgx)^/=1/xln10.

Докажем что (х ^п)^/=пх^п-1:1) Дадим аргументу х приращение ∆х≠0 и найдем наращенное значение ф-ции у+∆у=(х+∆х) ^п ; 2) Находим приращение ф-ции ∆у=(х+∆х) ^п- х ^п= х ^п+ пх^п-1 ∆х+ пх∆х^п-1 + ∆х^п-х^п= ∆х(пх^п-1+пх ∆х+ ∆х^п-1). 3)составим отношение ∆у/∆х= пх^п-1+пх ∆х+ ∆х^п-1

4) найдем предел у^/=lim_∆x→0∆у/∆х= lim_∆x→0(пх^п-1+пх ∆х+ ∆х^п-1)=nx^n-1.

б) Теорема: Пусть ф-ция у=f(x)- сложная ф-ция, где и =φ(х), тогда, если ф-ции f(и), φ(х) явл дифференцируемыми ф-ми, то производная сложной ф-ции по независимой переменной х: у^/х=f^| и×и^/ х. 1)(z^a)^/=az^a-1×∙z^/; 2) (z^1/2)^/=1/2z^1/2∙ z^/;3) (sinz)^/=cosz∙z^/;4) (cosz)^/= -sinz∙z^/;5) (tgz)^/=1/ cos²z∙z^/; 6) (сtgz)^/= -1/ sin²z∙z^/.

№26 Основные правила дифференцирования ф-ций одной переменной (одно из них доказать).

1) Производная постоянной равна нулю С^/=0(т к любое приращение постоянной ф-ции у=С равно0. 2)производная аргумента=1, т е х^/=1(следует из (х ^п)^/=пх^п-1 при п=1).

В след случаях будем полагать, что и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции. 3) Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций (и+ v)^/= и^/+ v^/. 4) Производная произведения двух дифференцируемых ф-ций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведения 1-го сомножителя на производную 2-го, т е (и v)^/= и ^/ v + и v^/.

1^о Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (с и)^/= с и ^/. 2^о Производная произведения нескольких дифференцируемых ф-ций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные (uvw)^/= u^/vw+ uv^/w+ uvw^/. 5) Производная частного 2-х дифференцируемых ф-ций может быть найдена по формуле: (u/v)^/= (u^/v- uv^/)/ v².

Докажем 4): Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции.Найдем производную ф-ции у= и v,∆х≠0,наращение для ф-ции и- и+∆и, для v- v+∆v, а ф-ция у- значение у+∆у= (и+∆и)(v+∆v). Найдем приращение: ∆у= (и+∆и)(v+∆v)-uv=uv+∆иv+u∆v+∆и∆v-иv=∆иv+ u∆v+∆и∆v,следов. ∆у/∆х =∆и/ ∆х v+ u∆v/ ∆х +(∆и/ ∆х)∙(∆v/ ∆х) ∆х. Найдем придел этого отношения про ∆х→0, используя теоремы о пределах: lim_∆х→0∆у/∆х = lim_∆х→0 ∆и/ ∆х v+ lim_∆х→0 u∆v/ ∆х + lim_∆х→0 (∆и/ ∆х)∙ lim_∆х→0 (∆v/ ∆х)∙ lim_∆х→0 ∆х. На основании определения производной получили, что у^/= и ^/ v + и v^/+ и ^/ v^/∙0 или у^/= и ^/ v + и v^/.

№29 Достаточные признаки монотонности ф-ций (один из них доказать).

Теорема (достаточное условие возрастания ф-ции). Если производная дифференцируемой ф-ции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Рассм х₁ и х₂ на данном промежутке Х. Пусть х₂>х_1,х_1,х₂єХ. Докажем, что f(x₂)>f(x₁).Для ф-ции f(x) на отрехке [x₁;x₂] выполняются условия т. Лагранжа, поэтому f(x₂)-f(x₁)=f ^/(Е)(x₂-x₁), где х₁<Е>х_2, т е Е є промежутку, на кот производная положительна, следов. f^/(Е)>0 и правая часть равенства lim_{x→xo(x→∞)} f(x)/g(x)= lim_{x→xo(x→∞)} f^/(x)/g^/(x)- положительна. f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁).

Теорема (достаточное усл убывания ф-ции): Если производная дифференцируемой ф-ции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

№31 Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

1) Если при переходе ч/з т. х_о производная дифференцируемой ф-ции у=f(x) меняет свой знак с «+» на «-», то т. х_о есть точка максимума ф-ции у=f(x), а если с «-» на «+», то –точка минимума.

Пусть производная меняет знак с «+» на «-»,т е в некотором интервале (а,х_о) производная положительна (f ^/(х)>0), а в некотором интервале (х_о;b)- отрицательна (f ^/(х)<0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности ф-ция f(x) возрастает на интервале (а;х_о) и убывает на (х_о;b). По опред возрастающей ф-ции f (х_о)≥ f (х) при х є (а;х_о), а по опред убывающей ф-ции f (х_о)≤ f (х) при х є (х_о;b), т е f (х_о)> f (х) при всех х є (а;b), следов. т. х_о- точка максимума ф-ции у=f(x). Аналогично, когда производная меняет знак с «-» на «+».

2) Если первая производная f ^/(х) дважды дифференцируемой ф-ции =0 в некоторой точке х_о, а вторая производная в этой точке f ^//(х) положительна, то х_о- есть точка минимума ф-ции f ^/(х), если f ^//(х)-отрицательна, то х_о- точка минимума.

№32 а)Понятие асимптоты графика ф-ции. б)Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты.в) Примеры.

а) Асимптотой графика ф-ции наз прямая, обладающая след св-ми: при удалении точки на графике ф-ции от начала координат, расстояние от этой точки до прямой стремится к 0.

б) 1) Прямая х=х_о явл вертикальной асимптотой графика ф-ии у=f(х), если хотябы один из односторонних пределов ф-ции при х→х_о равен ∞: lim _{х→хо+-0 f}(х)=∞.(рис.)

т.х_о при этом явл точкой разрыва ф-ции.

2) Прямая у=b явл горизонтальной асимптотой ф-ции, если ф-ция определена при достаточно больших значениях х и сущ предел: lim _х→∞f(х)=b.(рис.)

3)Прямая y=kx+b явл наклонной асимптотой ф-ии у=f(х), если ф-ия определена при достаточно больших значениях х и сущ конечные пределы: k=lim_x→+-∞ f(х)/х; b= lim_x→∞[f(x)-kx].(рис.)

Горизонтальная асимптота явл частным случаем наклонной асимптоты при k=0, поэтому у ф-ии в одном направлении не может быть одновременно горизонтальной и наклонной асимптот.

Пример: у=(2х²-1)/х. 1)вертик.асимптоты х=0; lim _х→0+0(2х²-1)/х= -∞; lim _х→0-0(2х²-1)/х=∞; х=0-вертик. асимптота. 2) наклонные асимптоты y=kx+b; k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(2х²-1)/хх =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х²(2-1/х²)/х²=2; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[(2х²-1)/х-2х]= lim_x→∞(2х²-1-2х²)/х = lim_x→∞(-1)/х =0. у=2х+0; у=2х-наклонная асимтота. {если k=0, то горизонтальная асимптота }, {если получается ∞, то горизонтальных и вертикальных асимптот нет}.

№33 Общая схема исследования ф-ий и построения их графиков. Пример.

1) Область определения ф-ии, 2) исследовать на четность, нечетность, 3) найти асимптоты графика, 4)Исследовать ф-цию на возрастание и убывание и найти экстремумы. 5) Найти точки пересечения с осями координат. 6) Построить график ф-ции.

Пример: у= х²/(1-х²). 1) 1-х²≠0, х≠ + -1, (-∞;-1) V (-1;1) V (1;+∞). 2) четная- симметрична относительно ОУ. 3) асимптоты: - вертикальные: х= -1 lim_x→-1-ox²/(1-х²)= -∞;

lim_x→-1+ox²/(1-х²)=+∞. Х=1 lim_x→1-ox²/(1-х²)= +∞; lim_x→1+ox²/(1-х²)= -∞; х=1; х= -1-вертикальные асимптоты. Наклонные: y=kx+b; k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(х²(1-х²)х) =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х/х²(1/х²-1)=0; k=0; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[х²/(1-х²)]=[∞/∞]= 2х/(-2)х= -1 b= -1; y= -1 –горизонтальная асимптота. 4) у^/=х²/(1-х²)=(2х²(1-х²)+х²(2х))/(1-х²)²=2х/(1-х²)². у^/=0, у^/- не сущ. 2х=0, х=0, 1-х²=0, х= +-1. min(0;0), 5) ОХ у=0, х=0; ОУ х=0 у=0.

6)

№34 а)Ф-ции нескольких переменных. Примеры.б)Частные производные (определение). в)Экстремум ф-ции нескольких переменных и его необходимое условие.

а) Пусть имеется п переменных величин и каждому набору из значений (х_1,х_2,…,х _п) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана ф-ция нескольких переменных z=f(x₁,…,x_n). Z=πх₁²х₂- задает объем цилиндра z как ф-цию 2-ух переменных: х₁(радиус основания) и х₂(высоты). Z=а₁х₁ +а₂х₂+…+ а _пх_п + b, где а,…, а _п, b-постоянные числа (линейная ф-ция). Ф-ция Z=1/2∑ ^п_i,j=1 b_ijx_ix_j (b_ij-постоянные числа) называется квадратической.

б) Частной производной ф-ции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения ф-ции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к 0(если этот предел сущ) Z^/x, f ^/х(х,у).

в) Точка М(х_о;у_о) называется точкой максимума (минимума) ф-ции z=f(x_,у)_, если сущ окрестность точки М, такая, что для всех точек (х;у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x_o;y_o)≥f(x;y)((f(x_o;y_o)≤f(x;y)).

Необходимое условие экстремума. Теорема: Пусть точка (x_o;y_o)- есть точка экстремума дифференцируемой ф-ции z=f(x_,у). Тогда частные производные f ^/х(x_o;y_o) и f ^/у(x_o;y_o) в этой точке =0.

№35 а)Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.б) Подбор параметров линейной ф-ции(вывод системы нормальных уравнений).

а) Формулы служащие для аналитического представления опытных данных наз эмпирическими формулами.Суть метода наименьших квадратов: Неизвестные параметры ф-ции у= f(x) подбираются таким образом, чтобы ∑ квадратов невязок была минимальной. Невязками наз отклонения м/д теоретическими значениями f(x_i), полученных по формуле у= f(x) и эмпирическими значениями у_i обозначается δ_i= f(x_i)-у_i.

б) Предположим, что м/д х и у сущ линейная зависимость (х, у- переменные), т е у=ах+b. ∫=∑ ^п _i=1(ах_i+b-y_i)² должна быть min. а,b-переменные;{S^/а=0, S^/b=0}; S^/а=∑ ^п _i=12(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, S^/b=∑ ^п _i=12(ах_i+b-y_i)1=0; ∑ ^п _i=1(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, ∑ ^п ₀₌₁(ах_i+b-y_i)=0; {∑ ^п _i=1ах_i+∑ ^п _i=1bх_i-∑ ^п _i=1y_iх_i=0; ∑ ^п ₀₌₁ах_i+∑ ^п ₀₌₁b-∑ ^п ₀₌₁y_i)=0};и {а∑х_i²+b∑х_i=∑y_iх_i; a∑х_i+nb=∑y_i}.

№36 а)Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. б)Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

а) Дифференциалом ф-ции наз главная линейная относительно ∆х часть приращения ф-ции равная произведению производной на приращение независимой переменной (обозначается dy- главная линейная часть) dy= f(x) ∆х (1). Дифференциал независимой переменной х равен приращению этой переменной, тогда формулу (1) можно записать как dy= f^/(x)dх. С геометрической точки зрения дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции у= f(x) в данной точке, когда х получает приращение ∆х.

Рассм график ф-ии у= f(x):

т.М –произвольная, <φ-егол наклона касательной к ОХ. ∆у=АВ+ВК, из ∆АМВ найдем АВ: АВ=tg φМА= tg φ∆х=f ^/(х) ∆х; ∆у= f ^/(х) ∆х+ВК.

б) Инвариантность (неизменность) формулы дифференциала: Если ф-ция у= f (х), следов. dy= f^/(x)dх.Рассм сложную ф-цию у=f(u),где u=φ(х). Найдем производную ф-ции. у^/х= f ^/u∙ u^/х |∙ dх; у^/х dх= f ^/u∙ u^/х dх; dу= f ^/u∙ du. Т о видно, что формула дифференциала не изменится, если вместь ф-ции от независимой переменной Х рассматривать ф-цию от зависимой переменной u.

№52 а)Знакочередующиеся ряды. б)признак Лейбнмца сходимости знакочередующихся рядов.в)Абсолютная и условная сходимость рядов.

а) Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: и₁-и₂-и₃-и₄+…+(-1)^п-1и_п+…, где и_п>0.

б) Теорема(Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и₁ >и₂>…>u_n>… и предел его общего члена при п →∞ равен 0, т е limu_n=0,то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S≤u₁.

в) Ряд наз абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд наз условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

№14 а)Понятие элементарной ф-ции. б)Основные элементарные ф-ии и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

а) Ф-ции, построенные из основных элементарных ф-ий с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной ф-ции, наз элементарными.

б) 1) Постоянная: у=b (b||OX) (рис.)

2) Степенная: А) у=х ^п, п -натуральное число. Для п-четного (рис у=х², у=х⁴): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)-убывает, (0;+∞)-возрастает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного (рис у=х, у=х³, у=х⁵): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные. Б) у=1/х ^п, п - натуральное число. Для п-четного (рис у=1/х², у=1/х⁴); 1-D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)- возрастает, (0;+∞)- убывает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного (рис у=1/х): 1- D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)= (-∞;0)V(0;+∞); 3-(-∞;0), (0;+∞)-убывает; 4- нечетные; 5- непериодичные. В) у=х^{1/ п} . Для п-четного (рис у=х^1/2). 1-D(f)=[0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для п-нечетного (рис у=х^1/3): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные. 3) Показательная: у=а^х (а>0; a≠1). Для а>1(рис): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3(-∞;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3- (-∞;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные. 4) Логарифмическая: (а>0; a≠1). У=log_ax. Для а>1(рис): 1-D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (0;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные.

№23 а)Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.б) Св-ва ф-ций, непрерывных на отрезке. в)Точки разрыва.г)Примеры.

а) Функция у= f (х) наз непрерывной в точке х_о, если она удовлетворяет след условиям:1)определена в точке х_о, т е сущ f (х_о), 2) сущ конечные односторонние пределы ф-ии при х→х_о слева и справа. 3) Эти пределы равны значению ф-ии в точке f (х_о)=lim_x→xo-o f (х)= lim_x→xo+o f (х). Ф-ия у= f (х) наз непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

б)1^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она ограничена на этом отрезке. (рис.) 2^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наименьшего М. (рис). 3^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и значения ее на концах отрезка f (а) и f (b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется т. Е є (a;b) такая, что f (Е)=0. (рис).

в) Если в какой-либо точке х_о для ф-ии у=f(х) не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то точка х_о наз точкой разрыва ф-ии, причем 1)если сущ конечные односторонние пределы ф-ии, не равные др другу, т е lim_x→xo-o f (х)≠ lim_x→xo+o f (х), то точка х_о наз точкой разрыва 1-го рода. 2)если хотябы один из односторонних пределов ф-ии =∞ или несущ: lim_x→xo-o f (х)=∞, lim_x→xo+o f (х)=∞, то точка х_о наз точкой разрыва 2-го рода.

г) Пример: Исследовать ф-цию на непрерывность, установить характер точек разрыва. У=х/(х-1) х=1 1) f(1)-неопределенна, 2) lim_x→1-o х/(х-1)= -∞, lim_x→1+o х/(х-1)= +∞,

х=1 - точка разрыва 2-го рада.

№28 Теоремы Ролля и Лагранжа (без док-ва). Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема Роля: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след условиям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), 3) на концах отрезка принимает равные значения f (а)=f (b), тогда внутри отрезка сущ по крайней мере одна точка С є (a;b), производная в кот =0, f ^/(С)=0. Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Роля утверждает, что если ф-ция удовлетворяет всем указанным условиям, то внутри интервала найдется хотыбы одна точка С (в нашем сл их 3-С₁,С₂,С₃), касательная к графику в этой точке будет параллельна оси ОХ.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след утверждениям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), то тогда внутри интервала (a;b) сущ по крайней мере одна точка С є(a;b), производная ф-ии в кот =отношению приращения ф-ии на этом интервале к приращению аргумента f ^/(С)=(f (b)- f (с))/ (b-с). Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Лагранжа утверждает, что в интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка С такая, что касательная проведенная к графику ф-ии в этой точке будет || прямой АВ, соединяющей концы графика ф-ии на отр АВ.

№24 а)Производная и ее геометрический смысл.б) Уравнение касательной к плоскости кривой в заданной точке.

а) Производной ф-ии у= f (х) наз предел отношения приращения ф-ции ∆у к приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х→0: у^/=lim_∆х→0∆у/∆х.. Геометрич смысл производной ф-ии в точке: производная ф-ии в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии в этой точке. k=f ^/(х_о).

б) у-у_о= f ^/ _хо (х_о)(х-х_о)- уравнение касательной.

№25 а)Дифференцируемость ф-ции одной переменной.б) Связь м/д дифференцируемостью и непрерывностью ф-ии (доказать теорему).

б) Теорема: Если ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, то она в этой точке непрерывна.

По усл ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, т е сущ конечный предел lim_∆х→0∆у/∆х= f ^/(х_о),где f ^/(х_о)-постоянная величина, не зависящая от ∆х. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами ф-ий можно записать: ∆у/∆х= f ^/(х_о)+L(∆х), где L(∆х)- бесконечно малая величина при ∆х→0 или ∆у= f ^/(х_о) ∆х +L(∆х) ∆х. При ∆х→0 на основании св-в бесконечно малых устанавливаем, что ∆у→0 и следов по опред ф-ия у= f (х) в точке х_о явл непрерывной. Обратная теорема не верна. Т о неперерывность ф-ии необходимое, но не достаточное усл дифференцируемости ф-ии.

№37 а)Понятие первообразной ф-ции. б)Неопределенный интеграл и его св-ва (одно доказать).

а) Ф-ия F(x) наз первообразной ф-ией для ф-ии f (х) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала F^/ (x)= f (х).

б) совокупность всех первообразных ф-ции f (х) на промежутке Х наз неопред интегралом от ф-ии f (х). Обозначается ∫ f (х)dx=F(x)+C, (х)-подынтегральная ф-ия. f (х)dx-подынтегральное выражение, dx-дифференциал переменной интегрирования. Св-ва: 1)Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной ф-ии (∫ f (х)dx)^/= f(х). Дифференцирую левую и правую части равенства, получаем: (∫ f (х)dx)^/=(F(x)+C)^/= F^/ (x)+C^/= f (х). 2) дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. d (∫ f (х)dx)= f (х)dx. 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого ∫ d F(x)= F(x)+С. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫С f (х)dx=С ∫f(х)dx; 5) Интеграл от суммы (разности) ф-ий равен сумме (разности) интегралов от этих ф-ий: ∫(f(х)+- g(х)) dx= ∫f(х) dx +- ∫g(х) dx.

№38 Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

Пусть задан интеграл ∫ f (х)dx- не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную t след образом: х=φ(t). Dx= φ^/(t)dt. ∫ f (х)dx=∫ f [φ(t)]φ^/ (t)dt=∫ φ(t)dt-формула замены переменной в неопред интеграле.

Пусть ф-ия х= φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [L;B], причем а=φ(L), b=φ(B). А данная ф-ия f (х) не прерывна в каждой точке х, где х= φ(t), тогда справедлива след формула: ∫^b_a f (х)dx=∫^b_a f [φ(t)]φ^/ (t)dt- формула замены переменной в определенном интеграле.

№41 а)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. б)ТФормула Ньютона-Лейбница.

а) Теорема: Пусть ф-ия f (х) непрерывна на отрезке [a;b], тогда в каждо точке х отрезка [a;b] производная ф-ии Ф(х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной ф-ии f (х), т е Ф^/(х)=(∫^х_аf(t)dt)=f(x).

б) Пусть ф-ия у=f (х) непрерывна на отрезке [a;b], F(x)-любая первообразная для ф-ии f (х) на отрезке [a;b], тогда определенный интеграл от ф-ии f (х) на отр [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке: ∫^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a.-формула Ньютона-Лейбница.

№42 а)Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.б)Интеграл Пуассона(без док-ва)

а) Несобственным интегралом с бесконечным верхним переделом ∫^+∞_а f(x)dx от ф-ии f(x) наз предел интеграла ∫^t_а f(x)dx, t→+∞, ∫^+∞_а f(x)dx=lim_t→+∞ ∫^t_а f(x)dx. Если этот предел сущ или равен конечному числу, то интеграл наз сходящимся, а противном случае расходящимся. Аналогично: Несобственный интеграл с нижним бесконечным пределом: ∫^b_-∞ f(x)dx=lim_t→-∞ ∫^b_t f(x)dx.

№43 вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.

1)Пусть ф-ия у= f(x) неопределенна и неотрицательна на отр [a;b], тогда согласно геометрическому смыслу определенного интеграла S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у= f(x), осью ОХ, слева прямой х=а, справа прямой х=b численно равна опред интегралу от ф-ии f(x) на отрезке [a;b]. S=∫^b_af(x)dx. (рис).

2)Если ф-ия у= f(x) неположительная на отр [a;b], то S над кривой у= f(x) вычисляется по формуле: S=-∫^b_af(x)dx. (рис).

3)Пусть плоская область ограничена сверху ф-ией у= f(x), снизу ф-ией у= g(x), слева и справа прямыми х=а, х=b, тогда ее S вычисляется по формуле: S=∫^b_a[f(x)-g(x)]dx. (рис).

Пример: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у= -х²,у=е^2х,х=0,х=1. (рис). S=∫¹_o(e^2x+x²)dx=∫¹_oe^2xdx+∫¹_ox²dx=| 2x=t, 2dt=dt, x=0 t=0, x=1 t=2|= 1/2∫²₀e^tdt+x³/3|¹_o=1/2e^t|²_o+1/3=1/2(e²-e^o)+1/3=e²/2-1/6 (кв.ед).

№45 а)Понятие о дифференциальном уравнении.б)Общее и частное решения.в) Задача Коши.г)Задача о построении матеметической модели демографического процесса.

а) Дифференциальным уравнением наз уравнение, связывающее искомую ф-цию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков донной ф-ии.

б) Общим решением дифференциального ур-ния g(x,y,y^/,…,y⁽ⁿ⁾)=0 n-го порядка наз такое его решение у=φ(х,с_1,…,с _п), кот явл ф-ией переменной х и произвольных независимых постоянных С_1,С₂,…,С _п. (независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений м/д ними). Частным решением дифференциального ур-ния наз решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С_1,С₂,…,С _п.

№47 Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.

Однородные: у^/=f(y/x). Решение: Выполняем замену у= и (х)х. у^/= и^/х+х^/и=и^/х+и. и^/х+и=f(их/х). Получили уравнение с разделяющими переменными: и^/х=f(и)и. хdи/х=f(и)-и. Пример: (ху-х²)у^/=у²-уравнение с разделяющими переменными у^/=у²/(ху-х²)=у²/х²(у/х-1)=(у/х)²/(у/х-1)-однородное уравнение. и^/х+и=f(их/х)=(их/х)²/(их/х-1); и^/х+и=и²/(и-1); dи/dx∙х=(и²/(и-1))-и; dи/dx∙х=и/(и-1); dи∙х=и(и-1) dx; (и-1)/и dи=dх/х; ∫(и-1)/и dи =∫ dх/х; ∫(и-1)/и=∫и/и-∫1/и=и-ln|и|; и=ln|u|+C=lnx; u=ln|u|+ln|x|+ln|C|; u=ln|cux|; y|x=ln|c∙y/x∙x|; y/x=ln|cy|; y=xln|cy|.

Линейные: у^/+Р(х)у=Q(x). Решение: Замена у=u(x)∙v(x) или y=uv. y^/=u^/v+v^/u, y=u(x)v(x). u(v^/+P(x) v)+u^/v= Q(x). Пусть { v^/+P(x) v =0; u^/v= Q(x)}. Каждое уравнение системы явл дифференциальным уравнением с разделяющими переменными. Решаем их и записываем общее решение, как у=u v. Пример: у^/-2у=е^2х, у= u(x)∙v(x), y^/=u^/v+v^/u, u^/v+v^/u-2 uv=е^2х; u(v^/-2v)+u^/v=e^2x; {u^/-2v=0,u^/v=e^2x}; dv/dx=2v; dv=2vdx; dv/v=2dx; ∫dv/v=2∫dx; ln|v|=2x+C (C=0); v=e^2x. u^/v=e^2x; u^/e^2x=e^2x; u^/=1; du/dx=1; du=dx; ∫du=∫dx; u=x+C; y=uv=(x+C)e^2x-общее решение.

№48 а)Определение числового ряда.б) Сходимость числового ряда.в) Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

а) Числовым рядом наз бесконечная последовательность чисел и_1,и_2,…,и_п,…, соединенных знаком сложения. и₁₊и_2+…+и_п…=∑^∞_п=1и_п,, и₁₊и_2+…+и_п…- члены ряда, и_{п -}общий или п -ый член ряда.

б) Ряд наз сходящимся, если сущ конечный предел последовательности его частичных сумм, т е lim_n→∞S_n=S. Число S- сумма ряда. В этом смысле можно записать и₁₊и_2+…+и_п+…=∑^∞_п=1и_п=S.

в) Теорема(необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена и_п при п →∞ равен нулю, т е lim _{п →∞}u_n=0. Выразим п -ый член ряда ч/з сумму его п и (п-1) членов, т е и_п=S_n-S_n-1. Т к рядсходится, то lim _{п →∞} S_n= S и lim _{п →∞}S_n-1=S, следов. lim _{п →∞}u_n= lim _{п →∞} (Sn- S_n-1)= lim _{п →∞} S_n - lim _{п →∞}S_n-1=S-S=0.

Пример: ∑^∞ _п=1 (4n+3)/(5n-7); lim _{п →∞}u_n= lim _{п →∞}(4n+3)/(5n-7)=4/5≠0, т е ряд расходится.

№15 а) Уравнение линии на плоскости. б)Точка пересечения двух линий.в) Огсновные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

а) Уравнением линии на плоскости Оху наз уравнение, кот удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой.

б) Пусть даны две прямые А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0_. Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т е они могут быть найдены из системы: { А₁х+В₁у+С₁=0; А₂х+В₂у+С₂=0}. Если прямые не параллельны, т е А₁/А₂≠В₁/В₂, то решение системы дает ед точку пересечения прямых.

№30 а)Определение экстремума ф-ии одной переменной.б) Необходимый признак экстремума (доказать).

а) Экстремумами наз точки максимума и минимума. Точка х_о наз точкой максимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х_о выполняется неравенство f(x)≥f(x_o). Точка х₁ наз точкой минимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х₁ выполняется неравенство f(x)≤f(x₁).

б) Необходимое условие экстремума: Для того чтобы ф-ия у= f(x) имела экстремум в точке х_о, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f ^/(x_o)=0) или не существовала.

№50 Признаки сравнения Доламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.

Теорема. Пусть для ряда ∑^∞ _п=1и_п с положительными членами сущ предел отношения (п +1)-го члена к п -му члену lim_n→∞(u_n+1)/u_n=L. Тогда, если l<1, то ряд сходится, если l>1, то расходится, если l=1, то вопрос остается нерешенным. Примеры: а) ½+2/2²+…+ п/2^п +…, т к lim_n→∞(u_n+1)/u_n= lim_n→∞((п +1)/(2 ^п+1)) п/2^п = lim_n→∞(п +1)/ 2п =1/2<1, то по признаку Даламбера ряд сходится. б) ∑^∞ _п=1 3 ^пп! /п^п, т кlim_n→∞(u_n+1)/u_n= lim_n→∞(3 ^п+1(п+1)!/(п+1)^п+1)/(3^пп!/ п^п) = lim_n→∞(3 п/(п+1))^п=3/( lim_n→∞(п/(п+1))^п =3/е>1-расходится.

№51 Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов. Пример.

Теорема: Пусть дан ряд ∑^∞ _п=1и_п, члены кот положительны и не возрастают, т е u₁≥u₂ ≥…≥u_n≥…_, а ф-ия f(x), определенная при х≥1, непрерывная и невозрастающая и f(1)=u₁, f(2)=u₂,…, f(n)=u_n,…,тогда для сходимости ряда ∑^∞ _п=1и_п необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫^∞₁f(x)dx. Пример: ∑^∞ _п=11/п². Пусть f(x)=1/x². Функция f(x) при х>0 (а значит и при х≥1) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла ∫^∞₁dx/х², следов. I=∫^∞₁dx/x²=lim_b→∞∫^b₁ dx/x². Если L=1, то I= lim_b→∞(ln|x||^b₁)= lim_b→∞(ln|b|-ln1)=∞. Если L≠1, то I= lim_b→∞((x ^-L+1)/(-L+1)|^b₁)= 1/(1-L) lim_b→∞(b^1-L-1)={1|(L-1) при L>1; ∞ при L <1}-ряд сходится при L>1 и расходится при L ≤1.

№17 а)Предел последовательности при п→∞ и предел ф-ии при х→∞.б) Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной ф-ии).

а) Число А наз пределом чиловой последовательности {a_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε >0, найдется такой номер N (зависящий от ε, N=N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство |a_n-A|<ε. Предел числовой последовательности обозначается lim_n→∞a_n=A или a_n→∞ при n→∞. Последовательность, имеющая предел, наз сходящейся, в противном случае- расходящейся. Число А наз пределом ф-ии у=f(x) при х→∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число М=0, что для всех х удовлетворяющих равенству |x|>M выполняется неравенство |f(x)-A|<E.При этом говорят, что A=lim_x→∞f(x).

б) Теорема1: Если числовая последовательность {a_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел. Теорема2: Если в некоторой окрестности точки х_о (или при достаточно больших значениях х) ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ями φ(х) и ψ(х), имеющими одинаковый предел А при х→х_о (или х→∞), то ф-ия f(x) имеет тот же предел А. Пусть при х→х_о lim _х→хо φ(х)=А, lim _х→хо ψ(х)=А. Это означает, что для любого ε>0 найдется такое число δ>0, сто для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ будут верны одновременно неравенства | φ(х)-А|<ε, | ψ(х)-А|<ε или А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε. Т к по усл ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ми, т е φ(х)≤ f(x) ≤ ψ(х), то из неравенства А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε следует, что A-ε< f(х)<A+ε, т е |f(x)-A|<ε. А это и означает, что lim_x→хоf(x)=А.

№18 а)Определение предела ф-ии в точке. б)Основные теоремы о пределах (одну доказать).

а) Число А наз пределоф ф-ии f(x) при х→х_о (или в точке х_о), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε. Этот предел ф-ии обозначается lim_x→xof(x)=A или f(x)→A при x→x_о.

б) 1) Ф-ия не может иметь более одного предела. Док-во: Предположим противное, т е что ф-ия f(x) имеет два предела А и D, A≠D. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ий в соответствии с формулой f(x)=A+α(x), f(x)=D+β(x),где α(x), β(x)- бесконечно малые при x→x_o(x→∞). Вычитая почленно эти равенства, получим 0= A-D+(α(x)-β(x)), откуда α(x)-β(x)= D-А. Это равенство не возможно, т к на основании св-ва 1 бесконечно малых α(x)-β(x) есть величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. 2) Предел алгеброической суммы конечного числа ф-ии равен такой же сумме пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)+φ(x)]=A+B. 3) Предел произведения конечного числа ф-ий равен произведению пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)φ(x)]=AB. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т е lim_x→xo(∞)(сf(x))=сA. 4) Предел частного двух ф-ий равен частному пределов этих ф-ий (при условии, что предел делителя не равен нулю), т е lim_x→xo(∞)f(x)/φ(x)=A/B (В≠0). 5) Если lim_u→uof(u)=A, lim_x→xoφ(x)=u_o, то предел сложной ф-ии lim_x→xof[φ(x)]=A. 6) Если в некоторой окрестности точки х_о (или при достаточно больших х) f(x)<φ(x), то lim_x→xo(∞)f(x)≤ lim_x→xo(∞)φ(x).

№54 Разложение в ряд Маклорена ф-ии у=ln(1+x)(вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

Получить разложение ф-ии у=ln(1+x) след образом: Рассм геометрический ряд 1/(1+х)=1-х+х²-х³+…+(-1) ^п х ^п +… со знаменателем q= -x, кот сходится при |q|=|-x|<1, т е при -1<x<1, к ф-ии f(x)=a/(1-q)=1/(1+x). Интегрируя равенство 1/(1+х)=1-х+х²-х³+…+(-1) ^п х ^п +… в интервале (0;х), где |x|<1, с учетом того, что ∫^х_оdx/(1+x)=ln|1+x||^x_o=ln(1+x), получим ln(1+x)=х-х²/2+х³/3-…+((-1) ^п х ^п+1)/(п +1)+…. Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (-1;1].

№55 Разложение в ряд Маклорена ф-ции у=(1+х)^п (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

у=(1+х) ^п, где п- любое действительное число. Имеем f(x)=(1+x)ⁿ, f ^/ (x)=n(1+x)^{n-1, f //} (x)=n(n-1)(1+x)^{n-2, f ///} (x)=n(n-1)(n-2)(1+x)^n-3,…,f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)…(n-k+1)(1+x)^n-k. При х=0 f(0)=1, f ^/ (0)=m, f ^// (0)=n(n-1), f ^/// (0)=n(n-1)(n-2), …, f⁽ⁿ⁾(0)=n(n-1)…(n-k+1). По формуле f(x)=f(0)+ f ^/ (0)x+ (f ^// (0))/2! ∙x²+(f ^/// (0))/3!∙x³+…+(f⁽ⁿ⁾(0))/n!∙xⁿ+…, получаем:

(1+x)ⁿ=1+nx+(n(n-1))/ 2! ∙x²+(n(n-1)(n-2))/ 3!∙x³+…+(n(n-1)(n-k+1))/ n!∙xⁿ+….Интервал сходимости ряда (-1;1) (на концах интервала при х=+- 1 сходимость ряда зависит от конкретных значений п). Ряд (1+x)ⁿ=1+nx+(n(n-1))/ 2! ∙x²+(n(n-1)(n-2))/ 3!∙x³+…+(n(n-1)(n-k+1))/ n!∙xⁿ+…. наз биномиальным. Если п - целое положительное число, то биномиальный рад представляет формулу бинома Ньютона, т к при k =n+1, n-k+1=0, n-ый член ряда и все последующие равны нулю, т е ряд обрывается и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.