Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа.

21. Интерполяционный многочлен и метод Ньютона для его построения.
Предел 1: Любая рациональная дробь →сумма многочлена и правильной дроби
Доказательство: Пусть f(x)/g(x) – рациональная дробь, тогда в силу теоремы 3 f(x)=g(x)q(x)+r(x) deg r(x)˂deg g(x)
Тогда r(x)=0
Тогда f(x)/g(x)= (g(x) q(x)+r(x))/g(x)
Тогда g(x) q(x)/g(x)+r(x)/g(x)=g(x)+r(x)/g(x)

22.Основная теорема алгебры комплексных чисел.
Теорема: Всякий многочлен с моб.числ.коэф. deg который не меньше 1, имеет хотя бы один корень в общем случае комплексный.

23.Разложение многочленов на неприводимые множители над полем комплексных чисел.
Следствие 1: Неприводимое равенство полей комплексных чисел может быть только мин многочлен.
Доказательство: Пусть P[x]- неприводимые над полем С. По оси теоремы алгебры он имеет хотя бы 1 комплексный корень а. p(x)=(x-a)*ϕ(x), то p(x)- неприводимое, значит ϕ(х) есть некоторое С, с -многочлен о степени →p(x)=c(x-a)
Следствие 2: Всякий многочлен f(x)ϵC[x]ⁿ в степени f(x)=n имеет над полем n-корней, считая каждый корень сто раз какова его кратность.
Доказательство: Пусть f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n такое уравнение имеет вид: f(x)=a₀(x-a₁)^k1(x-a₂)^k2…(x-a_m)^km, ясно что a₁, а₂ ... а_m – есть корни f(x) кратности к_1,к₂, …, к_m, причем к₁+к₂+…+k_m=n. Тогда имеем что всего у множителя комплексных корней.
24.Формулы Виета.
Пусть f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x₁+a₀, пусть a_n≠0, a₁, a₂, …, a_n -комплексные корни многочлена f(x), каждый из которых повторяется столько раз какова его кратность. Тогда f(x)=a_n(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n). Раскрыв справа скобки, приводим подобные члены, сравнив с коэффициентом f(x) получим следующее равенство a_n-1=-a_n(a₁+a₂+…+a_n)
a_n-2= a_n(a₁a₂+ a₁a₃…+a_n-1 a_n)
a₀= (-1)ⁿa_n a_1, a₂, …, a_n

25.Сопряженность комплексных корней многочленов с действительными коэффициентами.
Теорема: Если комплексное число x₀ является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное число х₀ также является корнем этого многочлена.
Доказательство: По условию f(x₀)=0, значит имеем a₀x₀ⁿ+a₁x₀^n-1+…+a_n-1x₀+a_n=0 Найдем f(x₀)=a₀x₀+a₁x^n-1+…+a_n-1x₀+a_n= a₀x₀ⁿ+ a₀x₀^n-1+…+ a_n-1x₀+a_n=f(x₀)=0=0

26.Разложение многочлена на неприводимые множители над полем действительных чисел.
Следствие: всякие многочлены с действительными коэффициентами deg≥1 разлагается над полем действительных чисел на линейные и квадратные множители. Причем каждому линейному соответствует действительный корень многочлена, а каждый квадратный множителю пар чисел. Значит над полем действительных чисел разложение множителя не неприводимые множители будут иметь вид: f(x)=a₀(x-a₁)(x-a₂)…(x-as)*(x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)… (x²+p_rx+q_к) a₀=0,

27.Рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.
Теорема 1: Если рациональное число p/q, где p,q -взаимно просты, являются корнем многочленами с целыми конями f(x), то p - является делителем свободного члена, q -делитель старшего коэффициента.
Доказательство: f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n и если f(p/q)=0, то получаем a₀(p/q)ⁿ+a₁(p/q)^n-1+…+a_n-1(p/q)+a_n=0
Теорема 2: Если рациональное число p/q-(p˄q)=1 Является корнем многочлена f(x)ϵz[x] то при для любого числа mϵz, целое число f(m) делится на (p-q*m)

28.Приводимость многочленов над полем рациональных чисел.
Пусть f(x)- многочлен с z коэффициентами, если Ǝ такое простое число p, что 1)старший коэффициент многочлена f(x) не делится на p
2)все остальные коэффициенты делятся на p
3)свободный член делится на p, не делится на p², то многочлен не приводим в целое Q[x]

29.Рациональные дроби и действия над ними. Поле рациональных дробей.
Определение: Две дроби равны если от одной можно перейти к другой по средствам вставок и сокращений

30.Разложение рациональной дроби на простейшие.
Предел 2: f(x)/g(x)ϵP(x); g(x)= g₁(x)g₂(x) (g₁(x)g₂(x))=1 – обе дроби правильные. Такое представление единственно
Доказательство: т.к. g₁(x) и g₂(x) взаимнопросты, то Ǝ M₁(x) и M₂(x) такие что g₁(x)M₁(x) и g₂(x)M₂(x)=1

31.Кольцо правильных рациональных дробей.
Предел 2: Сумма, разность производных дробей → правильная дробь. Теорема отличается от рациональных чисел.
Пусть f₁(x)/g₁(x) и f₂(x)/g₂(x) – ПРД, тогда f₁(x)g₂(x)/g₁(x)g₂(x) и f₂(x)g₁(x)/g₂(x)g₁(x) – дроби правельные