Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вес функции; вес класса эквивалентности

Опять возьмем конечные множества D и R и группу G постановок множества D. Каждому элементу множества R придадим вес. Этот вес может быть числом, или переменной, или вообще элементом коммутативного кольца, состоящего из рациональных чисел. Таким образом, мы можем образовывать суммы и произведения весов, произведения весов на рациональные числа, и эти операции удовлетворяют обычным законам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Вес, придаваемый элементу rÎR, обозначим через w(r).

После того как выбраны эти веса мы можем определить вес W(f) функции fÎR^D произведение

W(f)= [f(d)]. (9)

Если f₁ и f₂ принадлежат одному классу эквивалентности, то они имеют одинаковый вес. Это следует из того факта, что если f₁g=f₂, gÎG, то

[f₁(d)]= [f₁(gd)]= [f₂(d)],

поскольку первое и второе произведение имеют одни и те же сомножители, разве что в другом порядке, и в силу коммутативности произведения весов.

Так как все функции, принадлежащие одному и тому же классу эквивалентности, имеют одинаковый вес, мы можем определить в качестве веса класса эквивалентности это общее значение. Таким образом, если F обозначает класс эквивалентности, обозначим вес его через W(F); использование символа W как для веса класс вряд ли вызовет путаницу.

Пример 10. Рассмотрим случай окрашивания куба из примера 8 и образуем кольцо всех многочленов от двух переменных x и y с рациональными коэффициентами. Множество R состоит из элементов красный и белый, которым мы придадим в качестве весов значения x и y соответственно. Десять классов эквивалентности (а), …, (к) имеют теперь веса

x⁶, x⁵y, x⁴y², x⁴y², x³y³, x³y³, x²y⁴, x²y⁴, xy⁵, у⁶

соответственно. Отсюда можно видеть, что различные классы эквивалентности не обязаны иметь различные веса.

Пример 11. В примере 9 множество R имело два элемента x и y. Если считать x и y переменными, то нет причин, запрещающих дать элементу x вес x, а элементу y – вес y. Теперь символы x³, x²y, xy², у³ действительно стали весами классов. В этом случае вес характеризует класс: различные классы обладают различными весами.

Пример 12. Если взять w(r)=1 для всех rÎR, то мы будем иметь W(f)=1 для всех функций W(F)=1 для всех классов эквивалентности.