Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Элементы вариационного исчисления.

При решении инженерных задач, которые описываются с помощью мат. модели,состоящая из дифференциального уравнения и краевых условий, т.е.

(1)

{ (2)

Наряду с аналитическими и численными методами используются элементы вариационного исчисления. А именно мат. модели (1) – (2) ставится в соответствии некий функционал, минимум которого может быть решением краевой задачи (1) – (2). Поэтому ниже рассмотрим некоторые основные понятия элементов вариационного исчисления.

Первой задачей вариационного исчисления была задача о брахистохроне, сформулированный Бернулли в 1696 г. в этой задаче необходимо было найти кривую у(х), таким образом, чтобы минимизировать время спуска по этой кривой из одной точки в другую.

Бернулли показал, что время спуска записывается в виде:

(3)

Выражение 3 показывает, что Т=Т[e], т.е. может быть функцией от у, и называется функционалом, т.е. его переменная является функцией.

В общем виде выражении 3 записывают так:

(4)

Итак сформулируем главную цель вариационного исчисления.

Найти функцию у. которая доставляла бы max(min) функционала (4), в соответствии с этим стратегия поиска экстремума функционала (4) будет такой же как и нахождение экстремума функций в мат. анализе, т.е. сначала находим критические точки из условия у'(х)=0 и далее определяем max или min. В вариационном же исчислении подход остаётся прежним, но аргументом здесь может быть не числовая переменная, а функции. В вариационном исчислении мы вычисляем так называемую функциональную производную, т.е. производную по функции у=у(х) и далее приравниваем её к нулю и место критических точек из курса мат. анализа мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) известное как уравнение Эйлера-Лагранжа решая которое, при соответствующих краевых условиях мы получаем функцию (решение) которое даёт минимум исходному функционалу вариационного исчисления, таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к нахождению решения краевой задачи для ОДУ.